Matematik

Differentialligning med stokastisk variabel Z_t

21. marts 2017 af pure07 - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan løser man følgende problem?

$\frac{d}{dt}\int_{0}^{t}\sigma(s)^{2}E[Z(s)]ds$ .

Jeg har tænkt på om man kan løse den ved at opstille

$E[Z(s)]=\int_{0}^{s}Z(g)dg$

og trække det ud af parentes men det kan man vel ikke siden S stadig indgår?

Svar #1
21. marts 2017 af pure07

det skal være:

$\frac{d}{dt}\int_{0}^{t}\sigma^{2}(s)E[Z(s)]ds$

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. marts 2017 af Number42 (Slettet)

har ikke kendskab til SDE, men vil tro at:

$\frac{d}{dt}\int_{0}^{t}\sigma^{2}(s)E[Z(s)]ds= \sigma^{2}(t)E[Z(t)]$

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. marts 2017 af Therk

Et par ting.

E[Z(s)] er ikke stokastisk.

$E[Z(s)] = \int_{-\infty}^\infty x \, \mathrm dF_{Z(s)}(x)$

Her er F_Z(s) fordelingsfunktionen for Z(s).

Kan du nu løse det?

Svar #4
22. marts 2017 af pure07

hmm. Nej. men jeg tænker, kan man man løse den ved brug af Leibniz regel?

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. marts 2017 af Therk

Hvorfor dog det? Hvad med fundamentalsætningen?

https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus#Generalizations

Argumenter for at din integrand er deterministisk og integrabel. Så er du sådan set i hus (se #2).

Svar #6
23. marts 2017 af pure07

Du må meget gerne forklare hvad du mener #5

Jeg har lige løst den ved brug af Leibniz Integral Rule uden besvær.

https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. marts 2017 af Therk

Fra fundamentalsætningen: For en (Lebesgue-) integrabel funktion gælder der at

$\int_a^t f(s)\, \mathrm ds = F(t)-F(a)$

Hvis F er differentiabel i et punkt t, så gælder der ydermere at

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left( F(t) - F(a) \right )= f(t)$

Derfor: Hvis din integrand i #0 er kontinuert i t, så gælder resultatet i #2 uden at du skal bekymre dig om stokastiske integraler, hvis du kan vise at integranden er deterministisk.

Jeg kan ikke se det praktiske i Leibniz' regel, medmindre du har skrevet #0 op forkert. Med den skal du bruge at integranden er kontinuert næsten overalt i stedet for kun i t. Leibniz' regel bruger vi normalt hvis vi har en funktion af flere variable. Du har en funktion af én variabel. Men hvis du har vist det, så er det også fint.

Svar #8
25. marts 2017 af pure07

$\frac{d}{dt}\int_{a(t))}^{b(t))}f(t,s)ds, a(t)=0, b(t)=t,f(t,s)=\sigma(s)^{2}E[Z(s)]$

Ved brug af Leibniz formel har jeg ovenståede er lige mec $\sigma(s)^{2}E[Z(s)]-db(t)/dt*da(t)...-\int_{a(t)}^{b(t)}df/dt*ds$ .

Det giver som besvaret i #2. Det her en del af en længere opgave i et økonomifag og min underviser har bekræftet at det er den rigtige måde at gøre det på.

Therk, du må meget gerne regne dig frem til svaret ved din metode, for jeg kan ikke få det til at gå op.Men opgaven er løst så det er mere for nysgerrighed end lektiehjælp :)

Svar #9
26. marts 2017 af pure07

Never mind, Jeg har forstået den svaret i #7.

Vi er enige om at #2 giver det rigtige svar, ikke? :)

Skriv et svar til: Differentialligning med stokastisk variabel Z_t

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.