Matematik

Fourierrække og sumfunktioner

04. juni 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej Derude. Er gået i gange med en opgave me fourierrække, men kan ikke løse opgaven.
Opgaven lyder:
$c_k(f)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{i \ 2^{|k|}}& \text{if} k >0 \\ -\frac{1}{i \ 2^{|k|}}& \text{if} k <0 \end{matrix}\right.$ og c_0(f)=0

og sumfunktion finder jeg til at være:
$f \sim \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{i \ 2^k} \ e^{i \ k \ x} - \frac{1}{i \ 2^k} \ e^{-i \ k \ x} \right )$ , og nu har jeg vist, at rækken konvergerer uniformt.
Nu skal jeg afgøre om sumfunktionen er kontinuert, og dermed skal beregnes sumfunktionen .
1. Hvordan kan det vises, at sumfunktionen er kontinuert?
2. Hvordan kan man beregne sumfunktionen?

Jeg håber, at høre fra nogen, der vil hjælpe derude.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. juni 2017 af peter lind

Du kan regne summen ud. Det er en geometrisk række. Der gælder at c_k + c_-k = sin(kx)/2^k

Svar #2
04. juni 2017 af Rossa

Mener du, at

$b_k = i (c_k - c_{-k}) = i \ \left( \frac{1}{i \ 2^{|k|}} + \frac{1}{i \ 2^{|k|}} \right ) = \frac{2}{2^k}$

Er ikke med desværre, og den relation du giver findes ikke i min bog, kan du give en hjemmeside, som kan jeg læse lidt mere?

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. juni 2017 af peter lind

Nej Jeg mener ∑1/2^k/i og -∑1/2^k/i.

Det følger af at e^ix = cos(x) + i sin(x) se https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function

Svar #4
04. juni 2017 af Rossa

Mit spørgsmål er, at hvorfor konkluder du, at der gælder, $c_k+ c_{-k} = \frac{\sin(kx)}{k^2}$ .
Det kan jeg ikke finde i bogen, er det en ligning, eller hvorfor konkluderer du det, og det jeg vil forstå. Jeg forstår dig, at der gælder, e^ix = cos(x) + i sin(x), men det er nok for mig til forstå opgaven.

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. juni 2017 af peter lind

du kan udlede den af

e^ix = cos(x) + i sin(x)

e^-ix = cos(x) + i sin(-x) = cos(x) - i sin(x)

Adderer du ligningerne får du isoleret cos(x)

Subtraherer du ligningerne får du isoleret sin(x)

Svar #6
05. juni 2017 af Rossa

Nu har jeg forstået ideen, tak for det, men jeg jeg får ikke sin(k x)/ 2^k, jeg får bare (2 sin(kx))/2^k.

Skal jeg ikke gør rede, at (2 sin(kx))/2^k er kontinuert, eller er der noget anden skal tænkes om?

Brugbart svar (1)

Svar #7
06. juni 2017 af peter lind

Du skal regne summe ud. Det er ret nemt idet der er en geometrisk række

Skriv et svar til: Fourierrække og sumfunktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.