Matematik

Bevis af ulighed

18. juni 2017 af JohnDoe1990 - Niveau: A-niveau

Show that for any real number x it follows that:

$|x|+|x-6|\geq 6$

Bogen har i det pågældende afsnit forklaret om absolutværdi-funktionen og trekantsuligheden.

Jeg tænker umiddelbart, at man skal isolere x i uligheden, og vise at alle reelle tal opfylder den ulighed man ender med. Har forsøgt at gøre det således:

$|x+0|+|x+(-6)|\geq 6$

$|x|+|0|+|x|+|-6|\geq 6$

$2|x|+6\geq 6$

$|x|\geq 0$

Jeg er dog usikker på om jeg ud fra dette kan konkludere, at

$0\geq x$ eller $x\geq 0$

Nogle bud på hvordan disse beviser skal gribes an? :-)

Mvh.

Brugbart svar (1)

Svar #1
18. juni 2017 af Number42 (Slettet)

Du kan fx antage

1) x>=6 : x+ x-6 = 2 x-6 hvilket er større end 6

2) $x \in [0,6[$ : x -( x-6) = 6,

3) x<0 : -x -(x-6) = -2x +6 = |2 x| +6 større end 6

Kort og godt du kan ikke bare separere som du gør du skal tænke på om det er står indenfor | | er positivt eller negativt.

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. juni 2017 af Soeffi

#0 Du skal finde et udtryk y, så der gælder: |x| + |x - 6| ≥ y ≥ 6. Dit udtryk gælder ikke, fordi du har fundet et y, hvor |x| + |x - 6| ≤ y.

Du kan prøve: |x| + |x - 6| = |x| + |6 - x| ≥ |x| + 6 - |x| = 6.

Brugbart svar (1)

Svar #3
19. juni 2017 af AskTheAfghan

Du ved, at |x| = x når x ≥ 0, og at |x - 6| = x - 6 når x ≥ 6. Kombinerer man de to sammen, har man |x| = x og |x - 6| = x - 6 når x ≥ 6. På samme måde, har man |x| = -x og |x - 6| = -(x - 6) når x < 6. Benyt denne analyse til at bevise påstanden.

Hvis x ≥ 6, så er |x| + |x - 6| = x + (x - 6) = 2x - 6 ≥ 2·6 - 6 = 6. Hvis x < 6, så ... Prøv selv.

Konklusionen viser, at hvis x ∈ R, så er |x| + |x - 6| ≥ 6.

Svar #4
20. juni 2017 af JohnDoe1990

Mange tak. Det hjalp mig meget. :-)

Skriv et svar til: Bevis af ulighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.