Matematik

Vis en Ulighed

24. juni 2017 af JohnDoe1990 - Niveau: A-niveau

Er i gang med at øve uligheder og har lidt problemer med at vise denne:

$|x^2+3x-4y|+|x-1-4y| \geq (x+1)^2$

Har prøvet nogle forskellige ting, bl.a trekantsuligheden:

$|(x^2+3x-4y)+(x-1-4y)| \geq (x+1)^2$

$|x^2-1+4x-8y| \geq (x+1)^2$

$|(x+1)(x-1)+4(x-2y)| \geq (x+1)^2$

... og jeg ser at for x,y større end eller lig 0:

$|(x+1)(x-1)+4(x-2y)| = (x+1)(x-1)+4(x-2y) \geq (x+1)^2\geq 1$

men ved ikke rigtig hvad jeg skal gøre herfra, eller om jeg er på rette vej.

Nogle bud?

Mvh.

Brugbart svar (1)

Svar #1
24. juni 2017 af Soeffi

#0 Prøv:

${\color{Red} |(x+1)^2+(x-1-4y)|}+|x-1-4y| {\color{Red} \geq}$

${\color{Red} |(x+1)^2|-|x-1-4y|}+|x-1-4y| =$

Brugbart svar (1)

Svar #2
25. juni 2017 af AskTheAfghan

HINT: |x² + 3x - 4y| + |x - 1 - 4y| ≥ |(x² + 3x - 4y) - (x - 1 - 4y)| for ethvert x,y.

Svar #3
25. juni 2017 af JohnDoe1990

Okay. Jeg ser hvordan du er kommet frem til det. Jeg har tænkt over det, men jeg kan ikke gennemskue, hvad jeg skal gøre herfra. Jeg tror det er fordi, at der er to variable som jeg ikke ved, hvad jeg skal stille op med. Har normalt ikke problemer med disse opgaver når der kun er én variable. Der plejer jeg for hver absolutværdi, at finde de værdier af x for hvilket argumentet giver 0, og dernæst justere fortegn for diverse kombinatoriske muligheder af fortegn mellem absolutværdierne. Hvordan skal jeg gribe det an her?

Brugbart svar (1)

Svar #4
25. juni 2017 af Soeffi

#3 Du har i princippet:

$Bevis:|a+b|+|b| \geq |a|$

Det er bare forklædt.

Svar #5
26. juni 2017 af JohnDoe1990

Jeg tror jeg sidder med en "Einstellung Effect". Jeg kan simpelthen ikke lige gennemskue det...

Brugbart svar (1)

Svar #6
26. juni 2017 af SådanDa

Ved brug af trekantsuligheden:
|x²+3x-4y|+|x-1-4y|≥|(x²+3x-4y)-(x-1-4y)|=|x²+2x+1|=|(x+1)²|=(x+1)²

Brugbart svar (1)

Svar #7
26. juni 2017 af AskTheAfghan

#5 Man har |a - b| = |a + (-b)| ≤ |a| + |-b| = |a| + |b| for ethvert a,b.

Sætter man a = x² + 3x - 4y og b = x - 1 - 4y ind i formlen, får du det, der står i #2. Resten står i #6.

Brugbart svar (1)

Svar #8
26. juni 2017 af Soeffi

#5 Hvad forstår du ikke ved #1? a = (x+1)² og b = x - 1 - 4y.

Svar #9
27. juni 2017 af JohnDoe1990

Ahh... Nu er det gået op for mig. :-) Mange tak for jeres tid og hjælp! Det har hjulpet mig meget.

Skriv et svar til: Vis en Ulighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.