Matematik

Taylor-Udvikling

09. august 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej Derude.
Jeg skal udlede Centered Difference Formel, for første orden afledede, men er ikke ret sikkert, at regnestykket er rigtigt, men kan være, at jeg adderer og trækker fra på en forkert måde.

Jeg har en funktion med 4 variable, men vil meget gerne generalisere den med en variable.

Jeg skal regne:

f(x+h)-f(x-h)

$f(x+h) = f(x) + h \ f'(x) + \frac{h^2}{2} f''(x) + O(h^3) \ \ (1)$

$f(x-h) = f(x) - h \ f'(x) + \frac{h^2}{2} f''(x) - O(h^3) \ \ \ (2)$

$f(x+h)-f(x-h) = 2 \ h \ f'(x) + O(h^3) + O(h^3) = 2 \ h \ f'(x) + 2 \ O(h^3) \ \ (3)$

$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2 \ h } = f'(x) + \frac{ 2 \ O(h^3)}{2 h} \ \ (4)$

a) Jeg er ikke helt overbevist i (2), at fortegnet "minus" er rigtig, dvs
minustegnet foran O(h^3) , hvis det er rigtigt, venligst forkalr, fordi jeg synes, at man plejer at lægge en plustegn foran restleddet.

b) Er $O(h^3) + O(h^3) = 2 \ O(h^3)$ ? Her er jeg heller ikke overbevist, at det er rigtigt.

c) Er $\frac{O(h^3)}{h}= O(h^2)$ ???

Hvorfor er helt "fejlen" på approksimationen kun O(h^2) , da vi kunne forsætte med at taylor-udvikle til højere orden end den tredje?

Jeg håber, at nogen derude vil overbevise mig hvad er rigtigt, og hvad ikke er rigtigt i dette problem.
På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. august 2017 af Eksperimentalfysikeren

At fejlen e(h) er af orden O(hⁱ) betyder, at der findes en positiv konstant k, så -khⁱ < e(h) < khⁱ. O er ikke en bestemt funktion. Den angiver, at der er et sådant interval, så hvis f(h)-g(h) = O(hi), så er g(h) - f(h) også = O(hi).

b) Da O kun angiver, at intervallet eksisterer, giver det ikke mening, at gange O med f.eks. 2. På venstresiden angives, at der er en konstant k₁ og en konstant k₂, der opfylder betingelsen i øverste linie. Summen skulle så have konstantn k₁ + k₂, men det er jo blot en positiv konstant, så det kan angives blot med O(hⁱ). Læg mærke til, at de to O'er på venstre side ikke nødvendigvis svarer til samme konstant, så det giver ingen mening, at gange med 2.

c) Det er korrekt.

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. august 2017 af AskTheAfghan

Ifølge (1), findes der M∈R⁺ så |f(x + h) - [f(x) + hf'(x) + h²/2 f''(x)]| ≤ M|h³|. Hvis h → -h, har man |f(x - h) - [f(x) - hf'(x) + h²/2 f''(x)]| ≤ M|h³|. Dette viser, at f(x - h) = f(x) - hf'(x) + h²/2 f''(x) + O(h³), hvilket svarer på a). Ved brug af disse, kan man bestemme opførslen af f(x + h) - f(x - h). For at svare på dine andre spørgsmål, er det nok med at benytte definitionen af stort-O notation. For at bestemme opførslen af f(x + h) - f(x - h) ved brug af definitionen, har du først og fremmest

$\small \Big{(}f(x+h)-f(x-h)\Big{)}-\Big{[}\Big{(}f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)\Big{)}-\Big{(}f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)\Big{)}\Big{]}=\Big{(}f(x+h)-f(x-h)\Big{)}-2hf''(x)$

Men på venstresiden af lighedstegnet ved du, at

$\small \left | \Big{(}f(x+h)-f(x-h)\Big{)}-\Big{[}\Big{(}f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)\Big{)}-\Big{(}f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)\Big{)}\Big{]} \right |=\left | \Big{[}f(x+h)-\Big{(}f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)\Big{)}\Big{]}-\Big{[}f(x-h)-\Big{(}f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)\Big{)}\Big{]} \right |\leq \left | f(x+h)-\Big{(}f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)\Big{)} \right |+\left | f(x-h)-\Big{(}f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)\Big{)} \right |\leq M_1|h^3|+M_2|h^3|=(M_1+M_2)|h^3|$

for to positive konstanter M₁ og M₂ jf. den tidligere argument om f(x + h) og f(x - h). Dette betyder nemlig, at

$\small \small \Big{(}f(x+h)-f(x-h)\Big{)}-2hf''(x)=(M_1+M_2)|h^3|$

Ved multiplikaition med (2h)^-1, giver

$\small \small \frac{1}{2h}(f(x+h)-f(x-h))-f''(x)=\frac{1}{2}(M_1+M_2)|h^2|$

Da (1/2)(M₁ + M₂) er en positiv konstant, betyder denne ligning jo

$\small \frac{1}{2h}(f(x+h)-f(x-h))=f''(x)+\mathcal{O}(h^2).$

Skriv et svar til: Taylor-Udvikling

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.