Matematik

Lineær algebra bevis

09. september 2017 af KaspermedK - Niveau: Universitet/Videregående

Hej jeg har et spørgsmål. Jeg har opgaven

"Show that if a square matrix A satisfies

A^3+4A^2-2A+7I=0

Then so does A^T ".

Nedenstående er ikke en del af opgaven, men blot for at vise hvad er.

Eksempel

$A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix}$ , så er $A^T=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{2,1}\\ a_{1,2} & a_{2,2} \end{pmatrix}$ og er identitetsmatricen.

Svar #1
09. september 2017 af KaspermedK

Jeg har tænkt lidt, at hvis man lod matricerne fra mit eksempel være hhv. og A^T , kan man så ikke sætte dem lig med hinanden, eftersom begge jo skal ende med 0 i ligningen? Fordi så kan jeg tage enkelte elemener i matricen og reducere, så jeg ender med 0=0.

Brugbart svar (1)

Svar #2
09. september 2017 af ØI (Slettet)

Erstat A med A^T i ligningen og vis at det stadig giver 0. Du skal her benytte regnereglerne for transponering:

$\small \small \begin{align*} (A+B)^T &= A^T + B^T\\ (AB)^T &= B^TA^T\\ (cA)^T &= cA^T\\ \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
09. september 2017 af fosfor (Slettet)

A A A + 4 A A - 2 A + 7 I = 0 benyt A B = (B^T A^T)^T
(A^T A^T)^T A + 4 (A^T A^T)^T - 2 A + 7 I = 0 det samme igen i første led, og (A^T)^T = A
(A^T (A^T A^T))^T + 4 (A^T A^T)^T - 2 A + 7 I = 0 transponer på begge sider, benyt linearitet, og (A^T)^T = A
A^T A^T A^T + 4 A^T A^T - 2 A^T + 7 I = 0 qed

Svar #4
09. september 2017 af KaspermedK

Hej Øl.

Så får jeg ligningen

(A^T)^3+4(A^T)^2-2A^T+7I=0

Men problemet er bare, at jeg ikke ved hvordan jeg skal bære mig ad med at vise det. Men jeg tænker faktisk, at hvis jeg kan finde tr(A) og tr(A^T) så ved jeg de er det samme, og dermed må de være ens. Altså tr(A) er

$tr(A)=\bigl(\begin{smallmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{smallmatrix}\bigr)=a_{11}+a_{22}$

Nu har jeg så ikke fået angivet noget, men hvis jeg antog jeg har en $n\times n$ matrix, så ved jeg, at den alm. og transponerede giver det samme. Kan man gøre det den vej?

På forhånd tak.

Svar #5
09. september 2017 af KaspermedK

Ahhh, jeg kan godt se at #4 er helt skudt. Jeg prøver at forstå din metode. #3

Svar #6
09. september 2017 af KaspermedK

Hej igen #3. Jeg forstår hvad du gør i første og anden række, men fra anden til tredje række står jeg lidt af. Hvad er det der præcis sker? Du har skrevet at (A^TA^T)^TA, så bruger vi at A=(A^T)^T så der står vel (A^TA^T)^T(A^T)^T bliver det så det samme som (A^T(A^TA^T))^T ?

Brugbart svar (1)

Svar #7
09. september 2017 af ØI (Slettet)

$\small \small \begin{align*} (A^T)^3 + 4(A^T)^2 - 2A^T + 7I &= A^TA^TA^T + 4A^TA^T - 2A^T + 7I\\ &= (A^3)^T + (4A^2)^T - (2A)^T + (7I)^T\\ &= (A^3 + 4A^2 -2A + 7I)^T\\ &= 0^T\\ &= 0 \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. september 2017 af fosfor (Slettet)

(A^T A^T)^T A brug A B = (B^T A^T)^T
(A^T ((A^T A^T)^T)^T)^T brug (A^T)^T = A
(A^T A^T A^T)^T

Skriv et svar til: Lineær algebra bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.