Matematik

Koblede 1. ordens differentialligninger?

26. september 2017 af tyskeren11 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle på SP,

Jeg kunne godt tænke mig at lære noget omkring koblede 1. ordens differentialligninger. Jeg har aldrig haft om det, men jeg kunne godt tænke mig at arbejde selvstændigt med stoffet. Jeg har dog nogle generelle spørgsmål angående emnet:

- Hvad vil det sige, at differentialligninger er koblede? Og hvad betyder det, at der er tale om såkaldte "koblede 1. ordens differentialligninger"?

- På hvilken form skrives denne type af differentialligninger?

- Hvordan løses de, og hvad er den matematiske teori bag det?

Desuden ville jeg være meget glad, hvis I kunne henvise mig til nogle fagbøger eller hjemmesider, hvor dette matematiske emne behandles.

På forhånd tak!

Brugbart svar (1)

Svar #1
26. september 2017 af swpply (Slettet)

Kender du til linear algebra ??

Hvis nej, vil det være her du skal starte. For løsningen af koblede linear ordinære differentialiginger er intet andet end anvedlse af linear algebra.

Der sker ikke noget specielt interesant ved koblede lineære differential ligninger. Det bliver først rigtig interesant når du begynder at kigge på to (eller flere) koblede ikke-lineære differentialligninger, for her begynder selv simple systemmer at udvise kaotisk dynamik.

Brugbart svar (1)

Svar #2
26. september 2017 af swpply (Slettet)

- Hvad vil det sige, at differentialligninger er koblede? Og hvad betyder det, at der er tale om såkaldte "koblede 1. ordens differentialligninger"?

- På hvilken form skrives denne type af differentialligninger?

N koblede første ordens differentialligninger, er et system af N differentialligninger der tager formen

$\begin{align*} y_1^\prime &= f_1(x_1,x_2,\ldots,x_N,y_1,y_2,\ldots,y_N) \\ y_2^\prime &= f_2(x_1,x_2,\ldots,x_N,y_1,y_2,\ldots,y_N) \\ &\ \,\vdots \\ y_N^\prime &= f_N(x_1,x_2,\ldots,x_N,y_1,y_2,\ldots,y_N) \end{align*}$

Hvis samtlige f₁, f₂, ..., f_N er linære funktioner af x₁, x₂, ..., x_N og y₁, y₂, ..., y_N så siges ovenstående at være et system af N første ordens linære koblede differentialligninger.

Du kan også tænke på det som én vektor differentialligning.

- Hvordan løses de, og hvad er den matematiske teori bag det?

Hvis de er ikke-linære er der ingen genral metode til at finde løsninger. Der findes enda koblede ikke-linære differentialigninger hvor vi ikke ved om der overhovedet eksitere løsninger og omvendt findes der enda koblede ikke-linære differentialigninger hvor vi ikke ved om løsningerne til et begyndelses problem er unikt.

Hvis de derimod er linære, så som skrev i forrige post, er de indeholdt i "teorien" for linear algebra.

Et klassisk eksempel på et system af N linære koblede differential ligninger er N koplede fjedre. De er godt nok ikke første ordens ligninger men derimod anden ordens.
Du bør være istand til at finde dette eksempel ved en simple Google search.

Brugbart svar (1)

Svar #3
26. september 2017 af swpply (Slettet)

Som et (måske kedeligt) simpelt eksempel på et system af to første ordens linære ordinære differentialligninger, kan vi starte med at betragte den harmoniske oscillator:

$y^{\prime\prime}(t) = -ky(t)$ .

Får du nu den geniale idé at inføre den nye størrelse

$\hat{y} = y^\prime$ ,

så bliver ligningen for den harmoniske oscillator altså

$\hat{y}^\prime(t) = -ky(t) \qquad\text{and}\qquad y^\prime(t) = \hat{y}(t) \intertext{.}$

Altså et system af første ordens linære og ordinære differentialliginger.

Brugbart svar (1)

Svar #4
27. september 2017 af hesch (Slettet)

#0: En praktisk anvendelse finder du indenfor især digital reguleringsteknik.

I processer der indeholder flere indgange og udgange - fx et fly der vha. fodpedaler, gashåndtag, indstilling af flaps skal reguleres til en given hastighed, retning, højde - er det mest overskueligt at opstille oveføringsfunktioner for flyet, og at beregne parametre for en regulerende autopilot vha. koblede 1. ordens ligninger.

Denne metode kaldes på engelsk "state space" og på dansk "tilstandsvariable".

Opstilling og løsning af ligninger sker ved matrix-regning, der indebærer anvendelse af Laplacetransformation (analoge systemer) eller z-transformation ( digitale systemer ).

To koblede tilstande for flyet kan være hastighed og position, for hastigheden er den afledede af positionen. Bliver flyets hastighed = 0, har det til en vis grad også indflydelse på flyvehøjden.

Med andre ord kan man ret hurtigt bevæge sig ud i komplicerede forhold ved praktisk anvendelse af koblede differentialligningssystemer, men et godt nøgleord ved søgning er "digital reguleringsteknik".

Skriv et svar til: Koblede 1. ordens differentialligninger?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.