Matematik

Bevis.

21. oktober 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.
Jeg har fundet beviset for aritmetikkens fundamentalsætning, og det forstår jeg bedre end jeg forstå andre beviser.

Der er et problem, som jeg ikke kan forstå alligevel.
Beviset findes her: https://brilliant.org/wiki/fundamental-theorem-of-arithmetic/

De introducerer aritmetikkens fundamentalsætning
For every integer $n \geq 2$ , it can be expressed as a product of prime numbers.

$n = p_1^{\alpha_1 } \ p_2^{\alpha_2} \ ... p_i^{\alpha_i}$

Jeg forstå beviset, og er rimelig godt med, men jeg forstår ikke ANTAGELSEN, når der bevises,
primopløsning er entydigt, altså:
Uniqueness of a Factorization
De antager at
$n = p_1 \ p_2 \ ... p_i=q_1 \ q_2 \ ... \ q_j$
Definitionen eller lad os sige sætningen definerer $n$ som:

$n = p_1^{\alpha_1 } \ p_2^{\alpha_2} \ ... p_i^{\alpha_i}$
Hvorfor er ikke antagelsen for eksempel:

$n = p_1^{\alpha_1 } \ p_2^{\alpha_2} \ ... p_i^{\alpha_i} = q_1^{\beta_1} \ q_2^{\beta_2} \ ... \ q_j^{\beta_j}$
Antagelsen gør mig ussikkert.
På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. oktober 2017 af peter lind

Det kunne man også godt; menman har formodentlig fundet det nemmere at gøre det på den angivne måde. Så skal man ikke antage at p1≠p2 nødvendigvis

Svar #2
21. oktober 2017 af Rossa

Er ikke antagelsen her at, $p_1 < p_2 <p_3 <... <p_i \ ?$

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. oktober 2017 af peter lind

nej rækkefølgen er ligegyldig

Svar #4
21. oktober 2017 af Rossa

Jeg er ret forvirret, betyder det, at det kan ske, at $p_1 > p_2 ?$

Eller $p_1 = p_2 ?$

eller
$p_1 < p_2 ?$
Altså er der mange muligheder?

Brugbart svar (1)

Svar #5
21. oktober 2017 af peter lind

Alle 3 muligheder eksisterer

Svar #6
21. oktober 2017 af Rossa

Mange tak

Brugbart svar (1)

Svar #7
21. oktober 2017 af SådanDa

"For simplicity, we let the arrangements of prime be in ascending order."

Man kan sige at det er ligegyldigt hvilken rækkefølge primtallene optræder i, men for en given primtalsfaktorisering kan vi rykke rundt på primtallene så det mindste står først osv. (p₁≤ p₂ ≤p₃...).

I stedet for at indføre endnu et index til p for at holde styr på hvor i rækkefølgen vi rykker de forskellige p'er hen, antager han blot i beviset at de allerede står i den rigtige rækkefølge, det ændrer ikke på noget da vi selvfølgelig altid kan bytte rundt på faktorerne i et produkt. Man skriver indimellem WLOG ved sådan en antagelse (Without loss of generality)

Skriv et svar til: Bevis.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.