Matematik

Løsning til differentialligning

04. november 2017 af hehexd123 - Niveau: A-niveau

Hvis jeg har en differentialligning der lyder på:

$y'=x+x*y$

Hvordan kan jeg så finde ud af om dette: http://prntscr.com/h64cjt er en løsning til differentialligningen?

Brugbart svar (1)

Svar #1
04. november 2017 af swpply (Slettet)

gør prøve, dvs tag din formodet løsning

$y(x) = c\cdot e^{\frac{1}{2}x^2}-1$

differentiere din en enekelt gang og indsæt y' og y i differentialligingen. Hvis den opfylder ligningen så er den rigtig nok en løsning, hvis den ikke går, ja så er den ikke :-)

Brugbart svar (1)

Svar #2
04. november 2017 af sjls

For at finde ud af, om $y=c*e^{\frac{1}{2}x^2}-1$ er en løsning til differentialligningen, skal du blot indsætte dit udtryk for y og det du får ved at differentiere y med hensyn til x (dvs. y') og se, om ligningen er sand.

I dette tilfælde differentierer du y ved at benytte differentiation af sammensat funktion:

$y'=(c*e^{\frac{1}{2}x^2}-1)'=c(*e^{\frac{1}{2}x^2})'=c*e^{\frac{1}{2}x^2}*(\frac{1}{2}x^2)'=c*e^{\frac{1}{2}x^2}*x$

hvilket vil sige, at du kan indsætte i differentialligningen

$c*e^{\frac{1}{2}x^2}*x=x+x*(c*e^{\frac{1}{2}x^2}-1)\Leftrightarrow c*e^{\frac{1}{2}x^2}*x=x+x*c*e^{\frac{1}{2}x^2}-x\Leftrightarrow x*c*e^{\frac{1}{2}x^2}=x*c*e^{\frac{1}{2}x^2}$

Ligningen ovenfor er tydeligvis sand og siger derfor, at differentialligningen er sand for alle x - så dit y er (d)en (fuldstændige) løsning på differentialligningen.

Svar #3
04. november 2017 af hehexd123

#2
For at finde ud af, om $y=c*e^{\frac{1}{2}x^2}-1$ er en løsning til differentialligningen, skal du blot indsætte dit udtryk for y og det du får ved at differentiere y med hensyn til x (dvs. y') og se, om ligningen er sand.

I dette tilfælde differentierer du y ved at benytte differentiation af sammensat funktion:

$y'=(c*e^{\frac{1}{2}x^2}-1)'=c(*e^{\frac{1}{2}x^2})'=c*e^{\frac{1}{2}x^2}*(\frac{1}{2}x^2)'=c*e^{\frac{1}{2}x^2}*x$

hvilket vil sige, at du kan indsætte i differentialligningen

$c*e^{\frac{1}{2}x^2}*x=x+x*(c*e^{\frac{1}{2}x^2}-1)\Leftrightarrow c*e^{\frac{1}{2}x^2}*x=x+x*c*e^{\frac{1}{2}x^2}-x\Leftrightarrow x*c*e^{\frac{1}{2}x^2}=x*c*e^{\frac{1}{2}x^2}$

Ligningen ovenfor er tydeligvis sand og siger derfor, at differentialligningen er sand for alle x - så dit y er (d)en (fuldstændige) løsning på differentialligningen.

Mange tak for forklaringen, jeg forstår det endelig. Er der nogen chance for du kan hjælpe med de to sidste spørgsmål? http://prntscr.com/h68xzf

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. november 2017 af sjls

Det var så lidt.

Opgave b kan jeg ikke hjælpe med - der mangler noget information. I opgave c ved du, at løsningskurven går gennem (3,14), hvilket vil sige, at differentialligningen skal være opfyldt for x = 3 og y = 14. Dette kan du så indsætte i differentialligningen og heraf finde tangenthældningen y' i punktet:

$y'=x+x*y=3+3*14=45$

Herefter kan du indsætte de kendte værdier i tangentligningen

$y=y'(x-x_0)+y_0$

Svar #5
05. november 2017 af hehexd123

Altså y=45x(3-3)+14?

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. november 2017 af sjls

I tangentligningen er x'et den uafhængige variabel, ligesom y er den afhængige variabel, så det bliver i stedet

$y=45(x-3)+14$

Det kan du så reducere yderligere.

Skriv et svar til: Løsning til differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.