Matematik

Lineære differentialligninger af 1. orden

27. november 2017 af Rensm (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har vedhæftet opgaverne.

Er der ikke en der meget pædagogisk kan forklare hvordan jeg skal løse disse - sikkert meget simple - opgaver? Al hjælp er virkelig værdsat, da jeg føler, at jeg er stødt på en meget mur, som jeg ikke lige kan komme forbi... TAK!

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2017-11-27 kl. 20.34.56.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. november 2017 af fosfor (Slettet)

y'(x) = x*(x-1) integrer begge sider
y(x) = x³/3 - x²/2 + k
Som er den fuldstændige løsning.

Den går gennem P(3, 1/2) hvis y(3) = 1/2, dvs hvis
y(3) = 1/2
3³/3 - 3²/2 + k = 1/2
9 - 4.5 + k = 1/2
k = -4

I de andre er trinnene præcis de samme.

Svar #2
27. november 2017 af Rensm (Slettet)

Hvilken integrationsregneregel brugte du i den med y'(x)?

Brugbart svar (1)

Svar #3
27. november 2017 af fosfor (Slettet)

∫x*(x-1)dx gang x ind i parentes
∫(x²-x)dx brug additivitet af integraler
∫x²dx - ∫xdx

Svar #4
27. november 2017 af Rensm (Slettet)

Hvorfor additivitet af integraler, når der står x^2 minus x?

Brugbart svar (1)

Svar #5
27. november 2017 af Mathias7878

$\small \small \int x^2-xdx = \int x^2dx - \int xdx = \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2 = \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}$

- - -

Brugbart svar (1)

Svar #6
27. november 2017 af ringstedLC

Ok, skal prøve mit bedste.

I en "normal" ligning skal du finde den variable, somregel x, der gør, at der står det samme på hver side af lighedstegnet.

I en diff.-ligning skal du finde den funktion, der gør, at der står det samme på hver side af lighedstegnet.

$f'(x)=3x+1$

Du ved altså, hvad diff.-.kvotienten er, dog udtrykt ved x.

Du har helt sikkert regnet flere opgaver, a la:

$f(x)=3x^{2}+2x+1$

Bestem f'(x).

hvor du så har differentieret f(x) og fået:

$f'(x)=6x+2$

Og når nu at differentiere og integrere er hinandens "omvendte" ligesom sinus og arcsin, kan du bare integrere diff.-kvotienten for at finde funktionen, der er løsningen til diff.-ligningen:

$f'(x)=3x+1\Downarrow \\ \int f'(x)\;dx=\int 3x+1 \;dx \Downarrow \\ f(x)=\frac{3}{2}x^{2}+x+k$

Det er den fuldstændige løsning til diff.-ligningen.

Så skal du også finde den løsning, der går gennem punktet P(2,5). Det gøres ved at indsætte punktet ind i funktionen:

$f(x)=\frac{3}{2}x^{2}+x+k \\ 5=\frac{3}{2}2^{2}+2+k \Downarrow \\ k=-\frac{3}{2}2^{2}-2+5=-3 \Downarrow \\ f(x)=\frac{3}{2}x^{2}+x-3$

Nu har du så den "variant" af den fuldstændige løsning, der går gennem P.

Prøv nu selv de tre andre!

HUSK: Er du itvivl om dit integrale, differentierer du det for kontrol!

Svar #7
27. november 2017 af Rensm (Slettet)

Tusind tak for hjælpen. Det ser så let ud, når du viser det - og jeg forstår det også! Håber ikke jeg beder om for meget, men har du måske et råd til hvordan jeg kan forbedre mig på differentialligninger, da det virkelig er et emne, jeg har svært ved? Og jeg vil rigtig gerne forbedre mig.

Jeg løser de tre andre.

Svar #8
27. november 2017 af Rensm (Slettet)

Når 4/t skal integreres, bruger man så reciprokfunktionen af stamfunktioner for kendte funktioner, eller bruger man den der hedder 1/x, hvoraf stamfunktionen er ln(x)+k?

Brugbart svar (0)

Svar #9
27. november 2017 af Mathias7878

$\small \int \frac{4}{t} dx = 4 \cdot \int \frac{1}{t} dx = 4ln(t)+k$

- - -

Svar #10
27. november 2017 af Rensm (Slettet)

Tak!

Kan det passe at 4'eren bliver $f(x)=\frac{1}{t}*\exp()^2*x)+1$

Brugbart svar (0)

Svar #11
27. november 2017 af Mathias7878

$\small y(t) = 4ln(t)+k$

$\small y(1) = -5$

$\small 4\cdot ln(1)+k = -5$

$\small 0+k = -5$

$\small k = -5$

Dvs

$\small y(t) = 4ln(t)-5$

- - -

Svar #12
27. november 2017 af Rensm (Slettet)

3'eren får jeg til: $f(x)=4*ln\left | t \right | -5$

Svar #13
27. november 2017 af Rensm (Slettet)

Perfekt! tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #14
27. november 2017 af ringstedLC

#7
Tusind tak for hjælpen. Det ser så let ud, når du viser det - og jeg forstår det også! Håber ikke jeg beder om for meget, men har du måske et råd til hvordan jeg kan forbedre mig på differentialligninger, da det virkelig er et emne, jeg har svært ved? Og jeg vil rigtig gerne forbedre mig.

Jeg løser de tre andre.

Selv tak, - hvis det var til min forklaring.

Nu var det jo ikke verdens mest besværlige integrale. Du skal selvfølgelig være skrap til at integrere .Træn med dem på algebraform og bliv stensikker i hvad du gør ved at kontrollere med differentation.

Du vil få nogle tekstopgaver, hvor du skal lede efter de oplysninger som du skal bruge for selv at opstille en diff.-ligning, som du så skal bruge for at regne videre i opgaven.

Svar #15
27. november 2017 af Rensm (Slettet)

Jo, det var til dig.

Algebraform? Er det en hjemmeside?

Og tusind tak - det vil jeg prøve at gøre.

Brugbart svar (0)

Svar #16
27. november 2017 af Mathias7878

#15

Tror der menes, at det er bedst, hvis du laver dem i hånden uden hjælpemidler :-)

- - -

Svar #17
27. november 2017 af Rensm (Slettet)

Nååå.... Ja, okay - pinligt.

Men det giver nu meget god mening. Det vil jeg gøre fremover :-)

Brugbart svar (1)

Svar #18
27. november 2017 af ringstedLC

#15: Nej, - og dog man ved jo aldrig. Dårligt ord.

Jeg mente, at du skulle starte med opgaver som dem, du lige har lavet og så senere gå videre med de mere komplicerede på tekstform.

#16: Også et godt tip til træningen. Du kan sagtens få en simpel diff.-ligning i "uden hjælpemidler".

Skriv et svar til: Lineære differentialligninger af 1. orden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.