Matematik

omdrejningslegemer

28. november 2017 af hejsss (Slettet) - Niveau: A-niveau

Ved hjælp af formlen for omdrejningslegemer skal du eftervise nedenstående 2 rumfangsformler

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2017-11-28 kl. 12.48.44.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. november 2017 af mathon

Svar #2
28. november 2017 af hejsss (Slettet)

ups den forkerte. her er den rigtige

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2017-11-28 kl. 13.07.16.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. november 2017 af mathon

$\small \text{KEGLEN}$

Indlægges en retvinklet trekant med kateten $\small h$ langs x-aksen fra (0,0) til (h,0)
og kateten $\small r$ op ad y-aksen fra (h,0) til (h,r) går hypotenusen gennem
(0,0) og (h,r) og er derfor en del af linjen med
ligningen:
$\small y=\tfrac{r}{h}x$
omdrefningslegemets
volumen:
$\small V_x=\pi \int_{0}^{h}\left ( \tfrac{r}{h}x \right )^2\mathrm{d}x=\pi \cdot \tfrac{r^2}{h^2}\int_{0}^{h}x ^2\mathrm{d}x=\pi \cdot \tfrac{r^2}{h^2}\left [ \tfrac{1}{3}x^3 \right ]_{0}^{h}=\tfrac{1}{3}\pi \cdot \tfrac{r^2}{h^2}\left [ x^3 \right ]_{0}^{h}$

$\small V_x=\tfrac{1}{3}\pi \cdot \tfrac{r^2}{h^2}\cdot h^3$

$\small V_x=\tfrac{1}{3}\cdot r^2\cdot \pi \cdot h$

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. november 2017 af mathon

$\small \small \text{KEGLESTUBBEN}$

Indlægges et trapez hjørnekoordinaterne (0,0), (h,0), (h,R) og (0,r) hvor r < R
får linjen gennem (0,r) og (h,R)
ligningen:
$\small f(x)=y=\tfrac{R-r}{h}x+r$
hvoraf
$\small y^2=\tfrac{(R-r)^2}{h^2}x^2+2r\cdot \tfrac{R-r}{h}\cdot x+r^2=\tfrac{(R-r)^2x^2+2hr(R-r)x+h^2r^2}{h^2}$
Volumen af
omdrejningslegemet:
$\small V_x=\pi \int_{0}^{h}f(x)^2\, \mathrm{d}x=\pi \int_{0}^{h}\tfrac{(R-r)^2x^2+2hr(R-r)x+h^2r^2}{h^2}\, \mathrm{d}x$

$\small V_x=\pi \cdot \tfrac{1}{h^2}\int_{0}^{h}\left ((R-r)^2x^2+2hr(R-r)x+h^2r^2 \right ) \mathrm{d}x$

$\small V_x=\pi \cdot \tfrac{1}{h^2}\left [ \tfrac{1}{3}(R-r)^2x^3+hr(R-r)x^2+h^2r^2x \right ]_{0}^{h}$

$\small V_x=\pi \cdot \tfrac{1}{h^2}\left ( \tfrac{1}{3}(R-r)^2\cdot h^3+hr(R-r)\cdot h^2+h^2r^2\cdot h \right )$

$\small V_x=\pi \cdot h\cdot \tfrac{1}{3}\left ( (R-r)^2 +3r(R-r) +3r^2 \right )$

$\small V_x=\pi \cdot h\cdot \tfrac{1}{3}\left ( R^2-2Rr+r^2 +3Rr-3r^2 +3r^2 \right )$

$\small V_x=\pi \cdot h\cdot \tfrac{1}{3}\left ( R^2+Rr+r^2 \right )$

$\small V_x= \tfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot h\left ( r^2+R^2+r\cdot R \right )$

Svar #5
28. november 2017 af hejsss (Slettet)

Hvad med Kuglen

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. november 2017 af mathon

$\small \small \small \small \text{KUGLEN}$

Øverste halvcirkel med centrum i (r,0)
har ligningen:
$\small \small (x-r)^2+y^2=r^2$
Volumen af
omdrejningslegemet:
$\small \small V_x= \pi \int_{0}^{2r}y^2\mathrm{d}x$

$\small \small V_x= \pi \int_{0}^{2r}\left (r^2-(x-r)^2 \right )\mathrm{d}x$

$\small V_x= \pi \int_{0}^{2r}\left (r^2-x^2+2rx-r^2 \right )\mathrm{d}x$

$\small V_x= \pi \int_{0}^{2r}\left (-x^2+2rx \right )\mathrm{d}x$

$\small V_x=\pi \left [-\tfrac{1}{3}x^3+rx^2 \right ]_{0}^{2r}$

$\small V_x=\pi\cdot \tfrac{1}{3} \left [-x^3+3rx^2 \right ]_{0}^{2r}$

$\small V_x=\pi\cdot \tfrac{1}{3} \left (-(2r)^3+3r\cdot (2r)^2 \right )$

$\small V_x=\pi\cdot \tfrac{1}{3} \left (-8r^3+12r^3 \right )$

$\small V_x=\pi\cdot \tfrac{1}{3} \cdot4r^3$

$\small V_x= \tfrac{4}{3}\cdot\pi \cdot r^3$

Skriv et svar til: omdrejningslegemer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.