Matematik

Optimering

02. december 2017 af mat112 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg vil gerne minimere følgende sum:

$\sum_{i=1}^N (1/2(1-a)(b_{ki} -x )^2+a| b_{ki} -x |)$

med hensyn til x, hvor a∈[0,1]. Jeg tænker at minimere summen ved at minimere hvert led i summen, men jeg har problemer med den absolutte værdi. Jeg vil gerne bruge venstre/højre afledede, men jeg kan ikke rigtig få det til at fungere.

Er der nogen, som kan hjælpe mig lidt i gang?

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. december 2017 af fosfor (Slettet)

Antag at b_ki er sorteret mht. index i, og skriv summen som
$1/2(1-a)\sum_{i=1}^N(b_{ki} -x )^2+a\sum_{i=1}^N| b_{ki} -x |$
Den første sums minimum er x lig gennemsnittet af b_k'erne
Den anden sums minimum er x ∈ medianintervallet af b_k'erne.
Hvis N er ulige, så er medianintervallet kun et enkelt punkt: [ b_k((N+1)/2) ; b_k((N+1)/2) ]
Hvis N er lige, så kan medianintervallet være større: [ b_k(N/2) ; b_{k(N/2 + 1)} ]

Hvis gennemsnittet af b_k'erne ligger i medianintervallet, så er dette gennemsnit det optimale x
Hvis gennemsnittet af b_k'erne ligger uden for medianintervallet, så ligger det optimale x i det åbne interval mellem gennemsnittet og det randpunkt af medianintervallet som er tættest på gennemsnittet.

I det sidstnævnte tilfælde er der ingen formel for det optimale x. Problemet er konvekst, så start f.eks. med binary search og derefter newtons metode når x ikke længere hopper hen over nogen af b_k'erne.

Svar #2
04. december 2017 af mat112 (Slettet)

Mange tak for dit svar!

Kan du uddybe lidt, hvorfor det optimale x ligger i det åbne interval mellem gennemsnittet og det randpunkt af medianintervallet som er tættest på gennemsnittet, hvis gennemsnittet af bk'erne ligger uden for medianintervallet?

Skriv et svar til: Optimering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.