Matematik

Cosinus

12. december 2017 af Mathian - Niveau: B-niveau

Når vi skal bevise cosinus-relationerne, hvorfor isolere vi h? altså højden?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. december 2017 af mathon

Lægges trekant ABC i koordinatsystemet, så
$\small A=(0,0), \; B=(c,0)$ og $\small h_c's$ fodpunkt $\small D=\left ( b\cdot \cos(A),0 \right )$ samt $\small C=\left ( b\cdot \cos(A),b\cdot \sin(A) \right )$
haves for den retvinklede trekant $\small \textbf{DBC}$ med kateterne $\small \left | DB \right |=c-b\cdot \cos(A)\text{ og } \left | DC \right |=b\cdot \sin(A)$

$\small a^2= \left ( b\cdot \sin(A) \right )^2+\left ( c-b\cdot \cos(A) \right )^2$

$\small a^2= b^2\cdot \sin^2(A)+c^2+b^2\cdot \cos^2(A)-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(A)$

$\small a^2= b^2\cdot\left (\underset{=\mathbf{\color{Red} 1}}{\underbrace{\cos^2(A)+ \sin^2(A)}} \right )+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(A)$

$\small a^2= b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(A)$

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. december 2017 af Mathias7878

Svar #1 er muligt, dog kan den også forsimples. Jeg lærte det på denne måde:

Vi ønsker at bevise, at der gælder, at:

$a^2+b^2-2bc\cdot cos(A)$

En trekant ABC tegnes og deles op i to retvinklede trekanter via højden h. Vi ved, at

$cos(A) = \frac{hos}{hyp}$

hvor den hosliggende side kaldes for x og hypotesen kaldes for c, dvs

$cos(A) = \frac{hos}{hyp} = \frac{x}{c}$

Da isoleres x

$x = c\cdot cos(A)$

De to hypotenuser i trekanten ABC beregnes vha pythagoras:

$c^2 = h^2+x^2$

$a^2 = h^2+(b-x)^2 = h^2+b^2+x^2-2bx$

Vi ville til at starte med bevise, at der gælder, at

$a^2 = b^2+c^2-2bc\cdot cos(A)$

Vi ser ovenover, at a er lig med

$a^2 = h^2+b^2+x^2-2bx$

hvor vi ser, at

$h^2 +x^2 = c^2$

hvilket erstattes. Vi har derfor

$a^2 = b^2+c^2-2bx$

Vi husker fra tidligere, at

$x = c\cdot cos(A)$

hvilket erstattes. Vi får

$a^2 = b^2+c^2-2bc\cdot cos(A)$

hvilket akkurat er det, vi ønsker at bevise.

Håber det giver mening! :-)

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. december 2017 af Mathias7878

Har vedhæftet en skitse af, hvordan trekanten ABC skal se ud og deles op. Den er måske lidt dårligt tegnet! :-)

- - -

Vedhæftet fil:Trekant ABC.png

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. december 2017 af Mathias7878

Tastefejl i #2.

Vi ønsker at bevise, at der gælder, at

$a^2 = b^2+c^2-2bc\cdot cos(A)$

- - -

Svar #5
12. december 2017 af Mathian

Tak for det udførlige svar!

Skriv et svar til: Cosinus

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.