Sandsynlighed og kombinatorik.

a) 

Tak

Står der ikke mere i opgaven? Du har brug for at vide hvordan der "vælges", f.eks. hvis der vælges mere end en elev, kan det øge Hannes chancer. Men altså for at afgøre sandsynligheden har man brug for at vide, hvordan udvælgelsen foregår.

Hvis de trækker lod om pladserne til elevrådet hvor alle har lige stor chance for at blive trukket, og der ikke er nogen regler om kønsfordelingen (f.eks. at det skal være en dreng og en pige) så kan vi sige:

Sandsynligheden for at Hanne bliver valgt = sandsynligheden Hanne bliver valgt først + sandsynligheden for at Hanne ikke bliver valgt først · sandsynligheden for at Hanne blive valgt som nummer 2.

Med andre ord, 1/20+19/20·1/19 = 1/10

Du kan også tegne et tælletræ hvis det er nemmere.

To repræsentanter kan udvælges som
pige  dreng
  0        2            Antal tilfælde   K_8,2
  1        1                     "             12·8
  2        0                     "             K_12,2
At Hanne udvælges er det samme som, mindst en pige udvælges.
Det gøres på   12·8 + K_12,2  måder
Sandsynligheden for at Hanne vælges er da    
b)   Vi må formode, at valget af Hanne i 9. klasse er uafhængig af, at hun blev valgt i 8. klasse.
       Resultatet er derfor det samme.

#6 "At Hanne udvælges er det samme som, mindst en pige udvælges." Hvorfor det? Der kan vel godt vælges piger som ikke lige er Hanne? Som jeg ser det er Hanne kun en del af 8 ud af de 12·8 muligheder i situation 2. (En gang med hver af de forskellige drenge) og 11 ud af den K_12,2 muligheder i situation 3 (En gang med hver af de andre piger). Så derfor (0+8+11)/K_20,2 = 19/190 = 1/10.

Overser jeg noget?

# 7

# 7
Det har du ret i. Tak for korrektionen af # 6.

Hanne kan vælges sammen med en dreng:              1·8 tilfælde     eller
Hanne kan vælges sammen med en anden pige:   1·11 tilfælde
                                                                                    19 tilfælde
Vi forudsætter så, at der netop er én Hanne.

 

En opgave der åbenbart volder nogen problemer.

Er det ikke fuldkommen ligegyldigt med alt det der drenge/pige noget, når det nu ikke har betydning for udvælgelsen?

Det virker bare mærkeligt, at det overhovedet skal være kompliceret, når niveauet er 9 klasses matematik :-)

To kugler trækkes blandt 1 rød, 11 grønne og 8 blå.
Hvor mange udvalg når rød skal være med?
Ræsonnementet # 10 ?

#12 Indrømmet, jeg er ikke stiv i det her. Men det du skriver i #12 giver overhovedet ingen mening i forhold til opgaven. Den siger: Træk et navn af 20. Derefter træk et navn af 19.

#1 siger 1/20 inden det oplyses, at der trækkes to gange.

#5 og jeg siger 1/10

Hvor i opgaven er det, at du synes det har en betydning om Hanne er en pige eller dreng?

I #9 skriver du "19 tilfælde", men hvilken sandsynlighed har du regnet dig frem til?

# 13
"Træk et navn af 20. Derefter træk et navn af 19".
      Disse to trækninger sikrer ikke, at Hanne udtrækkes.
"# 5 og jeg siger 1/10"
      Det er også korrekt, men ¹/₂₀ + ¹/₁₉ er dog ikke ¹/₁₀  (# 10)
"Hvor i opgaven er det, at du synes det har en betydning om Hanne er en pige eller dreng?"
      Kønsfordelingen er ikke lige. Sammenlign med kuglerne i # 12. Hanne er den røde, de øvrige piger,
      de grønne, og drengene de blå.     
"I # 9 skriver du "19 tilfælde", men hvilken sandsynlighed har du regnet dig frem til?"
      Sandsynligheden for at Hanne udvælges: 

 

Jeg forstår at svaret err 1/10, men er forvirret når det kommer til udregningerne. Nogen der kan vise mig, hvordan man er kommet frem til 1/10???

Er denne udregning korrekt?

Hanne kan vælges 1/20 gange første gang, og hun kan også blive valgt anden gang, og derfor ganger man med 2???

Man kan sige at der er 19 forskellige måder Hanne kan bliver valgt først på, og 19 forskellige måder Hanne kan blive valgt som nummer 2 på (I begge tilfælde en mulighed for hver af de andre klassekammerater)

Det vil sige 19+19 = 38

Hvor mange måder kan man sammensætte 2 elever på? Første træk er der 20 muligheder, derefter 19. Så det giver 20·19 =  380

Så sandsynligheden er 38/380 = 1/10.

(Bemærk at vi her tæller (Hanne og Anders) og (Anders og Hanne) som to forskellige muligheder (Rækkefølgen har betydning), vi kunne have talt dem som én mulighed (Rækkefølgen har ingen betydning), hvilket ville give 19/190= 1/10 som i #14, begge dele er gangbare fremgangsmåder her.)

#16 er ikke helt korrekt. Men hvis du gerne vil regne på denne måde er det som i #5, altså sandsynligheden for at hun bliver valgt første gang er 1/20, sandsynligheden for at hun bliver valgt anden gang er 1/19, men husk hun kan ikke blive valgt anden gang hvis hun allerede er valgt første gang, så de 1/19 skal vi gange med sandsynligheden for at hun ikke blev valgt i første omgang, altså 19/20, så i alt er sandsynligheden:

1/20+1/19·19/20 = 1/20+1/20 =2/20 = 1/10.