Matematik

Differentialligninger

15. januar 2018 af Margna555 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Hvis jeg skal bestemme hvor lang tid der skal gå fra starttidspunktet indtil værdien af y har nået halvdelen af sin maksimale værdi.

Hvad er det helt præcist jeg skal gøre.

Er det en bestemt formel jeg skal bruge?

Jeg ved hvad startstidspunktet er og løsningskurven til differentialligningen går gennem et givent punkt.

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. januar 2018 af MatHFlærer

Det der du skriver om er sikkert logistisk differentialligning, af typen

$y'(x)=a\cdot y(x)\cdot (M-y(x))$

Så er den fuldstændige løsning

$y(x)=\frac{M}{1+c\cdot e^{-a\cdot M\cdot x}}$

Og for at nå halvdelen så er det ligningen

$y(x)=\frac{M}{2}$

Du løser

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. januar 2018 af mathon

$\small \textup{Hvilken type differentialligning taler du om?}$

Svar #3
15. januar 2018 af Margna555 (Slettet)

Ja det logistisk vækst jeg snakker om af den form som gymnasieteacher har skrevet op

Men anvendes den ligning ikke også hvis man vil finde hvornår væksthastigheden er størst?

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. januar 2018 af peter lind

Du skal løse ligninningen f(t) = ½(f_max-f(0))

Svar #5
15. januar 2018 af Margna555 (Slettet)

hvorfor skriver #1 så noget andet?

Brugbart svar (1)

Svar #6
15. januar 2018 af mathon

$\small \textup{Hvis det stadigv\ae k er typen i #1:}$

$\small \textup{er sp\o rgsm\aa let vel: "Hvorn\aa r er v\ae ksten st\o rst?"}$

$\small \textup{v\ae ksten er st\o rst, n\aa r }\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\textup{ har maksimum}$
$\small \textup{dvs n\aa r }\frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d} ^2}=0$

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac{\mathrm{d^2}y }{\mathrm{d} x^2}=a\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\cdot \left ( M-y \right )+a\cdot y\cdot \left ( -\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )=a\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\left ( M-y-y \right )=\mathbf{\color{Red} a\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\left ( M-2y \right )=0}\; \; \; \; a>0\; \; \wedge\; \; \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}>0$

$\small \textup{Eneste mulighed for }$
$\small \frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d} x^2}=0$
$\small \textup{er}$
$\small y=\frac{M}{2}$

Svar #7
15. januar 2018 af Margna555 (Slettet)

Tak for hjælpen :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
15. januar 2018 af mathon

$\small \textup{Beregning af x-v\ae rdien for maksimal v\ae kst:}$

$\small \frac{M}{2}=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

$\small 1+Ce^{-aMx}=2$

$\small Ce^{-aMx}=1$

$\small e^{-aMx}=\frac{1}{C}$

$\small e^{aMx}=C$

$\small \small x=\frac{\ln(C)}{a\cdot M}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
15. januar 2018 af MatHFlærer

#5
hvorfor skriver #1 så noget andet?

Det #4 skriver er det "samme" som mit.

Skriv et svar til: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.