Matematik

Optimering

05. februar 2018 af Roxanna - Niveau: B-niveau

Hej Alle.

Jeg har svært ved vedhæftet opave.

Jeg har allerede fundet overfladearealet, eller i hvert fald formlen for overfladearealet, men jeg er i tvivl om hvad jeg så skal. Skal jeg ikke differenserer overfladeareal for hver af figurene og derefter finde ekstremumspunkter, altså minimumum/maksimum?

Vedhæftet fil: dok.docx

Brugbart svar (1)

Svar #1
05. februar 2018 af AMelev

Lav en skitsetegning af de tre muligheder og navngiv de ingående størrelser.

Skriv lige, hvad du helt præcist har fundet frem til indtil nu.

Brugbart svar (1)

Svar #2
05. februar 2018 af mathon

$\small V_{kasse}= h\cdot x^2=10$
$\small h=\tfrac{10}{x^2}$ $\small \textup{Da intet andet er n\ae vnt, formodes grundfladen kvadratisk.}$

$\small O_{kasse}(x)=x^2+4\cdot h\cdot x=x^2+\tfrac{40}{x}$

…

$\small V_{cyl}=h \cdot \pi\cdot r^2=10$
$\small h=\tfrac{10}{\pi \cdot r^2}$

$\small O_{cyl}=\pi \cdot r^2+h\cdot 2\pi r=\pi \cdot r^2+\tfrac{10}{\pi r^2}\cdot2 \pi r=\pi r^2+\tfrac{20}{r}$

$\small O_{cyl}(r)=\pi r^2+\tfrac{60}{r}$

…

$\small V_{kegle}=\tfrac{1}{3}\cdot h \cdot \pi\cdot r^2=10$
$\small h=\tfrac{30}{\pi \cdot r^2}$

$\small O_{kegle}=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot \sqrt{h^2+r^2}=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot \sqrt{\tfrac{900}{\pi ^2r^4}+r^2}$

$\small O_{kegle}(r)=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot \sqrt{\tfrac{900}{\pi ^2r^4}+r^2}$

Svar #3
05. februar 2018 af Roxanna

Jeg har gjort som Mathon har gjort, dog med nogle små udregningsfejl, men de er rettet til nu.

Men jeg står jo tilbage med disse "formler", men ingen konkrete tal. Jeg kan vel ikke bestemme ekstrama, uden reelle tal?

Brugbart svar (1)

Svar #4
05. februar 2018 af mathon

$\small \small \textup{Overflademinimum kr\ae ver bl.a. } \mathbf{\color{Red} O{\, }'=0}$

$\small \textup{Beregn disse tre minimumsv\ae rdier for \textbf{x} eller \textbf{r} og beregn derefter selve overfladen.}$

$\small \textup{Herefter kan en sammenligning foretages.}$

Svar #5
05. februar 2018 af Roxanna

Arh okay, jeg tror jeg glemte solve(O'(x)=0)) før jeg sprang ned til monotonilinjen. Men jeg har lige et spørgsmål, hvorfor er der et x² ved overfladearealet for en kasse?

Brugbart svar (1)

Svar #6
05. februar 2018 af AMelev

OK - så skal du netop, som du selv foreslår, bestemme min for de tre fu nktioner ved at differentiere og sætte O' = 0.
Du kan benytte graferne til at argumentere for, hvillke nulpunkternfor O' der er min-pumkter.

Brugbart svar (1)

Svar #7
05. februar 2018 af AMelev

Bunden er jo forudsat at være kvadratisk med sidelængde x, så overfladen er areal_bund + 4·areal_sideflade.

Svar #8
05. februar 2018 af Roxanna

Kan dette passe? (Vedhæftet fil)

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-02-05 kl. 17.21.15.png

Brugbart svar (1)

Svar #9
05. februar 2018 af AMelev

A'(x) er rigtig, men der er kun 1 løsning - jeg kan ikke gennemskue, hvordan du får de tre løsninger.

$2x-\frac{40}{x^2}=0\Leftrightarrow 2x=\frac{40}{x^2}\Leftrightarrow x^3=20$

Desuden bør du gøre opmærksom på, at x, h og r i sagens natur skal være positive.

Svar #10
05. februar 2018 af Roxanna

Hmm, så løsningen er 20? Jeg får det af en eller anden grund det til kun 2.71 nu.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-02-05 kl. 18.37.59.png

Brugbart svar (1)

Svar #11
05. februar 2018 af AMelev

Nej ikke 20. x³ = 20, så
$x=\sqrt[3]{20}=2.71$

Så beregner du O-værdien og sammenligner med de tilsvarende fra de to andre.

Svar #12
05. februar 2018 af Roxanna

Er dette ikke et ekstremumspunkt så?

Brugbart svar (1)

Svar #13
05. februar 2018 af AMelev

Kig på grafen, så kan du se, at det er et minimuspunkt, og det var jo også det, du var på jagt efter.

Svar #14
05. februar 2018 af Roxanna

Okay ja, det kan jeg godt se på grafen for A(x). Men hvis jeg plotter grafen for A'(x), så får jeg en anden graf. Jeg kan ikke se sammenhængen mellem de to, for skal A'(x) ikke være negativt for at A(x) aftager? F.eks. er grafen for A'(x) negativ før 2.71, men grafen for A(x) stiger før 2.71?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-02-05 kl. 20.13.32.png

Brugbart svar (1)

Svar #15
05. februar 2018 af AMelev

Du har ganske ret, men A(x) er da aftagende før 2.71 og voksende efter - det er jo derfor, x = 2.71... er et minimumspunkt.

Du behøver sådan set ikke bekymre dig om grafen for A'. Du ved, der er vandret tangent for A i x = 2.71 og du kan se på A-grafen, at der er min. Så bestemmer du min enten ved A(2.71...) eller ved at benytte dit grafværktøj.
Tilsvarende gør du så ved de to andre

Svar #16
05. februar 2018 af Roxanna

#15
Så bestemmer du min enten ved A(2.71...) eller ved at benytte dit grafværktøj.

Altså lave f.eks. monotoniforhold/linje?

Brugbart svar (1)

Svar #17
06. februar 2018 af AMelev

Du behøver ikke lave monotonilinje - du kan se på grafen om de fundne nulpunkter for den aflede funktion faktisk er minimumspunkter. Hvis de er det kan bare beregne eller via grafværktøjet aflæse de tilsvarende minimumsværdier.
I 1. tilfælde beregnes min-værden til A(2.714) = 22.104
Se vedhæftede for aflæsning

Vedhæftet fil:Min.JPG

Svar #18
07. februar 2018 af Roxanna

Arh okay! Det har jeg ikke prøvet før. Men hvad betyder de 22, så? Er det selve minimumsværdien i nulpunktet 2.71?

Jeg har egentlig bare lavet monotoniforhold..

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-02-07 kl. 20.14.55.png

Brugbart svar (0)

Svar #19
08. februar 2018 af AMelev

Ja, 22. 1 er det mindste areal for kasseformen, og min opnås for x = 2.7.

Svar #20
20. februar 2018 af Roxanna

Jeg har lige et hurtigt spørgsmål. Hvordan er du kommet frem til overfladearealet for keglen? Altså det med kvadratroden?

Forrige 1 2 Næste

Der er 26 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.