Matematik

Differentialligninger

13. februar 2018 af Egofaciens (Slettet) - Niveau: A-niveau

Nogen der kan hjælpe med denne opgave?
En differentialligning er givet ved:

$dy/dx+y=2\cdot e^(2x)+1$

a) Vis, at funktionen $y= \frac{2}{3} e^{2x}+e^{-x}+1$ er en løsning til differentialligningen.

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. februar 2018 af Mathias7878

...

$\small \frac{dy}{dx}+y = 2\cdot e^{2x}+1$

$\small \frac{dy}{dx} = 2\cdot e^{2x}+1 -y$

$\small y' = 2\cdot e^{2x}+1 -y$

$\small \frac{4}{3}e^{2x}-e^{-x} = 2e^{2x}+1-(\frac{2}{3}e^{2x}+e^{-x}+1)$

$\small \frac{4}{3}e^{2x}-e^{-x} = \frac{4}{3}e^{2x}-e^{-x}$

dvs. du skal isolere dy/dx og derefter differentiere y og indsætte det i stedet for dy/dx og tilsvarende skal du erstatte y med den overnævnte funktion. Så ender du ud med, at det giver det samme på højre og venstre siden, hvilket vil sige, at y = bla bla bla er en løsning til differentialligning

(Jeg har ikke differentieret funktionen selv, men bare fået computeren til at gøre det. Ligeledes har jeg ikke reduceret højre siden selv, men fået computeren til det).

- - -

Svar #2
13. februar 2018 af Egofaciens (Slettet)

Tusind tak for svar på hvad jeg synes var en enormt indviklet differentialligning!

Brugbart svar (1)

Svar #3
14. februar 2018 af mathon

$y{\, }'+y=2e^{2x}+1$
$\small \textup{l\o st med "panserformlen"}$
$\small \textup{giver:}$
$y=e^{-x}\cdot \int e^x\left ( 2e^{2x}+1 \right )\mathrm{d} x=e^{-x}\cdot \int\left (2e^{3x}+e^x \right )\mathrm{d} x=$

$\small e^{-x}\cdot \left ( \tfrac{2}{3}e^{3x}+e^x+C \right )$

$\tfrac{2}{3}e^{2x}+Ce^{-x}+1$

$\small \textup{som specifikt for \textbf{C=1}}$
$\small \textup{giver den partikul\ae re l\o sning:}$
$y= \tfrac{2}{3}e^{2x}+e^{-x}+1$

Svar #4
14. februar 2018 af Egofaciens (Slettet)

Tak for svar!

Skriv et svar til: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.