Matematik

Differentialligninger

03. marts 2018 af KaptajnHjælpMig (Slettet) - Niveau: A-niveau

Nyt emne, differentialligninger. De opgaver vi skal løse er ikke nogen jeg som sådan kan læse mig til på diverse hjemmesider og mine bøger. Ihvertfald ved jeg ikke hvordan det skal stilles op, så måske nogen vil hjælpe mig på vej med disse to opgaver, sådan så jeg kan forstå hvordan fremtidige opgaver skal gribes an?

Det drejer sig om:

1. Bestem et andengradspolynomium, der er løsning til: dy/dx=-y+3x^2-10.

- Jeg har forsøgt mig med svaret y=3x^2-10. Men dette virker for simpelt.

2. Bestem forskrift for funktionen f, når: f'(x)=xcos(2x) og f(1/2Pi)=1/2f(Pi)

-Jeg ved ikke rigtig hvor jeg skal starte.

Mange tak på forhånd.

Brugbart svar (2)

Svar #1
03. marts 2018 af fosfor (Slettet)

2. integrer f '(x) med partiel integration og brug den additive konstant k til at forskyde grafen for f op og ned så betingelsen bliver opfyldt.

Brugbart svar (2)

Svar #2
03. marts 2018 af fosfor (Slettet)

1. indsæt på y's plads y=ax²+bx+c, og på y's aflededes plads dy/dx = 2ax+b

2ax + b = -ax² - bx - c + 3x² - 10 træk alt over på samme side
0 = -2ax - b - ax² - bx - c + 3x² - 10 sæt x og x² uden for parentes
0 = x(-2a - b) + x²(-a + 3) + (-10 - c - b)

Da ligningen skal gælde for alle x, skal hver parentes være lig 0. Den midterste giver dermed hvad a skal være (i y=ax²+bx+c) og derefter giver den første parentes hvad b skal være, osv.

Brugbart svar (1)

Svar #3
03. marts 2018 af mathon

Prøv med:
$\small y=3x^2-6x-4$

Brugbart svar (1)

Svar #4
03. marts 2018 af mathon

detaljer:

$\small y{\, }'+y=3x^2-10$ $\small \textup{som l\o st med panserformlen}$
$\small \textup{giver:}$
$\small y=e^{-x}\cdot \int e^x\cdot \left ( 3x^2-10 \right )\mathrm{d} x=$

$\small e^{-x}\cdot \left ( e^x(3x^2-10)-\int e^x\cdot 6x\, \mathrm{d} x \right )=$

$\small e^{-x}\cdot \left ( e^x(3x^2-10)-\left ( e^x\cdot 6x-\int e^x\cdot 6\, \mathrm{d} x \right )\right )=$

$\small e^{-x}\cdot \left ( e^x(3x^2-10)-\left ( e^x\cdot 6x-6 e^x \right )+C\right )=$

$\small e^{-x}\cdot \left ( e^x(3x^2-10)- e^x\cdot 6x+6 e^x +C\right )=$

$\small 3x^2-10-6x+6+Ce^{-x}$

$\small y=Ce^{-x}+3x^2-6x-4$
$\small \textup{som for C=0}$
$\small \textup{har den partikul\ae re l\o sning:}$

$\small y=3x^2-6x-4$

Brugbart svar (1)

Svar #5
04. marts 2018 af mathon

...men #2 er jo absolut mere bekvem og er formentlig den fremgangsmåde opgaveforfatteren har tænkt sig.

Brugbart svar (1)

Svar #6
04. marts 2018 af mathon

2.
$\small f{\, }'(x)=x\cdot \cos(2x)$

$\small f(x)=x\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2x)-\tfrac{1}{2}\int \sin(2x)\cdot 1\, \mathrm{d} x=x\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2x)+\tfrac{1}{4}\cdot \cos(2x)+k$

$\small f\left ( \tfrac{\pi }{2} \right )=\tfrac{\pi }{2}\cdot \tfrac{1}{2}\sin(\pi )+\tfrac{1}{4}\cdot \cos(\pi )+k=-\tfrac{1}{4}+k$
$\small \textup{og}$
$\small \tfrac{1}{2}\cdot f(\pi )=\tfrac{1}{2}\cdot \left (\pi \cdot \tfrac{1}{2}\cdot \sin(2\pi)+\tfrac{1}{4}\cdot \cos(2\pi) +k \right )=\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{2}k$

$\small \textup{s\aa }$
$\small -\tfrac{1}{4}+k=\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{2}k$

$\small \tfrac{1}{2}k=\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{8}$

$\small k=\tfrac{6}{}8=\tfrac{3}{4}$
$\small \textup{hvoraf:}$
$\small f(x)= \tfrac{1}{2}x\cdot \sin(2x)+\tfrac{1}{4}\cdot \cos(2x)+\tfrac{3}{4}$

Svar #7
06. marts 2018 af KaptajnHjælpMig (Slettet)

I skal alle ha' et stort tak for hjælpen.

Skriv et svar til: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.