Matematik

Integral/Målteori

14. april 2018 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude, jeg er i gange ved at regne en gammeleksamensopgave.
Opgaven består af to sprørgsmål, den første spørgsmål er jeg klar over,
men i det 2. spørgsmål er jeg lidt forvirret.
Vil nogen derude prøve at forklare opgaven lidt bedre end jeg forstår?
På forhånd tak
Opgaven lyder:

I denne opgave betegner $\nu$ målet på $(\mathbb{B}, \mathbb{R})$ med tæthed $f$ med hensyn til lebesguemålet m på $(\mathbb{B}, \mathbb{R})$ , givet ved:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 2xe^{-x^2} & \text{for} \ x>0\\ 0 & \ \text{ellers} \end{matrix}\right.$
Betragt transformationen $h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$
$h(x)=\left\{\begin{matrix} x^2 & \text{for} \ x>0\\ 0 & \ \text{ellers} \end{matrix}\right.$

Spørgsmål 1.)
Vis at billedmålet $h(\nu)$ har tæthed med hensyn til lebesguemålet $m$ på $(\mathbb{B}, \mathbb{R})$ givet ved

$\bar f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-y} & \text{for} \ y>0\\ 0 & \ \text{ellers} \end{matrix}\right.$
Med andre ord, vis at $h(\nu)= \bar f \cdot m$

(Her skal man argumentere ved at anvende en sætning, og det kan jeg).
Spørgsål.2).
Vis at $\nu$ er et sandsynlighedsmål, dvs. vis at $\nu(\mathbb{R}) =1$

Her er jeg ikke helt klar, betyder det $\nu(\mathbb{R}) =1$
Er det

$\nu(\mathbb{R})= \int_{\mathbb{R}} \textbb{1}_{(0,\infty)} \bar f(y)dm(y) = \int_{0}^{\infty} e^{-y}dm(y) =1$

eller betyder det, at

$\nu(\mathbb{R})= \int_{\mathbb{R}} \textbb{1}_{(0,\infty)} f(x)dm(x) = \int_{0}^{\infty} 2 \ x \ e^{-x^2}dm(x) =1$
.

Brugbart svar (1)

Svar #1
15. april 2018 af Drunkmunky

Du skal vise at målet v er et sandsynlighedsmål (ikke billedmålet h(v)). Så det er $\nu(\mathbb{R})=\int_{\mathbb{R}}f(x)\text{d}m(x)=\int 1_{\mathbb{R}}f(x)\text{d}m(x)=\int_{0}^{\infty}2xe^{-x^{2}}\text{d}x$

som du så kan udregne vha. substitution, så du ender med at skulle udregne det første integral du opskrev ovenfor.

Svar #2
15. april 2018 af Rossa

Mange tak for hjælpen

Brugbart svar (1)

Svar #3
15. april 2018 af AskTheAfghan

Det må være den nederste del, du skrev. Idet v = f·m, fås

$\begin{align*} \nu(\mathbb{R})&=\int_{\mathbb{R}}f\,\mathrm{d}m=\int_{\mathbb{R}}f(x)\,\mathrm{d}m(x)\\ &=\int_{\mathbb{R}}1_{(-\infty,0]}(x)0\,\mathrm{d}m(x)+\int_{\mathbb{R}}1_{(0,\infty)}(x)2xe^{-x^2}\,\mathrm{d}m(x)\\ &=\int_{\mathbb{R}}1_{(0,\infty)}(x)2xe^{-x^2}\,\mathrm{d}m(x)\\ &=\int_{0}^{\infty}2xe^{-x^2}\,\mathrm{d}x \end{align*}$

Skriv et svar til: Integral/Målteori

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.