DTU Matematik 1 - hjemmeopgavesæt 7

Opstil for hver koordinat i vektorfeltet V det approksimerende Taylorpolynomium af første grad (for hver af de to variable) med P som udviklingspunkt. Saml derefter de tre dele til et samlet vektorfelt.

Tak, det prøver jeg. 

Opg. 2.

Jeg kan ikke se hvor Gauss og stoke kommer ind i billedet?

2a. 

Jeg kan se at Ω er den den af enhedskuglen som ligger i 1. og 4. oktant. 

Jeg har også en generel parameterfremstilling for en kugle:

r(u,v,w) = (?? · ??????(??) · cos (??)),??·??????(??)·sin(??),?? · ??????(??))

hvor ?? ∈ [0;??], ?? ∈ [0;??], ?? ∈ [0;2??]

Jeg ved dog ikke i dette tilfælde hvad mine parameterintervaller skal være når jeg kun ska have den del af kuglen som er i 1. og 4. oktant?

Generel parameterfremstilling for en kugle er vedhæftet som billede:

2c.

KAn jeg ikke gøre noget smart her da det er en lukket kurve?

3b. 

Er der ikke en færdig formel for taylor i 3 variable?

3d.

Jeg tænker at det første jeg gøre at finde endepunkterne som jeg har navngivet A,B,...G,H.

Dette kan jeg gøre via midtpunktet (1,1,1), δ og en smule fantasi.

Men når jeg har fundet endepunkterne, ved jeg ikke hvordan jeg finder en parameterfremstilling?

3e.

Der står "vi forestiller os nu at K flyder med U opfattet som hastighedsvektorfelt."

Jeg forstå ikke denne sætning.

3e. 

Når jeg skal beregne Vol′(0)/Vol(0), kan jeg så ikke først beregne tæller og nævner for sig ?

Fx. er der tælleren Vol′(0). Denne kan jeg finde udfra den formel som jeg har vedhæftet som et billede.

Jeg skal også finde Vol(0), men er det ikke bare volumen af kuben som bare er V=δ³. Eller skal det udtrykkes på en anden måde?

1a.

Kan det passe at jeg bare skal tjekke om der gælder rot(V) = 0?

#3 2b kan du direkte benytte Gauss divergenssætning og i 2c kan du direkte benytte stokes sætning

#7 jo se https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#Taylor_series_in_several_variables 

#11 jo

Okay. 

2a. 

Ω er den del af enhedskuglen som er i 1. og 4. oktant. En generel parameterfremstiling for en massiv kugle er:

r(u,v,w)=( u·sinv·cosw,usinv·sinw,u·cosv), u=[0,R], v=[0,π], w=(0,2π).

For Ω bliver parameterintervallerne så ikke:  u=[0,1], v=[0,π/4], w=(0,2π).

Kan det ikke passe?

Behøver ikke svar på #13.

JEg har fundet frem til den rigtige parameterfremstilling!

den mest oplagte måske, men der er uendeligt mange rigtige parameterfremstillinger

ad #12

2b.

Jeg tror ikke jeg har forstået Gauss' divergenssætning. I noterne kan jeg se at Gauss' sætning er tre udtryk der er lig med hinanden. Jeg kan ikke finde rundt i det.

2c.

Ligeså fortabt som i 2b.

v ∈ [0; π/2] ellers kan z ikke blive 1

w ∈[0; π] ellers bliver x negativ

ad #17

ok, jeg prøver lige disse for at se om de også passer :-)

Jeg har stadig brug for hjælp med 2b og 2c.

På forhånd tak.

2b) Kan beregnes som ∫div(V)dμ over rumfanget af området

2c) kan beregnes som ∫rot(V)·n_F)dμ