Matematik

Linearitet af Fourier-transformationen

28. maj 2018 af sjls - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg ved, at Fourier-transformationer er lineære, men når jeg leder efter beviser, finder jeg blot frem til nogen, der viser, at

$I:\mathcal{F}(ax_{1}(t)+bx_{2}(t))=a\mathcal{F}x_{1}(t)+b\mathcal{F}x_{2}(t)$

men ingen, der viser, at $II:\forall a\in\mathbb{R}:\mathcal{F}x(at)=a\mathcal{F}x(t)\wedge \mathcal{F}(x_{1}(t)+x_{2}(t))=\mathcal{F}x_{1}(t)+\mathcal{F}x_{2}(t)$

hvor $x(t), x_{1}(t), x_{2}(t)$ er kontinuerte funktioner defineret i et interval. Er det fordi, udsagnene I og II er ækvivalente, eller kan man ikke opstille linearitetsbetingelserne i II, da der altid Fourier-transformeres i domænet t og ikke at?
Såfremt begge udsagn er ækvivalente, hvorledes beviser man så skaleringsegenskaben i II?

Tak på forhånd. :-)

Brugbart svar (1)

Svar #1
28. maj 2018 af VandalS

Jeg går ud fra, at du har lavet en skrivefejl i $II$ og i stedet mener, at _. I så fald er denne egenskab sammen med den anden i $II$ logisk ækvivalent med $I$ , da du kan vise den ene påstand ved brug af den anden, og omvendt.

Bemærk, at der gælder en seperat regl for Fouriertransformationer af funktioner på formen for ; i dette tilfælde gælder følgende sammenhæng mellem deres transformationer: $\hat{h}(\xi) = \frac{1}{|{a}|} \hat{f} \left(\frac{\xi}{a} \right)$ .

Svar #2
28. maj 2018 af sjls

Ah, ja, det er naturligvis, fordi jeg har glemt, at Fourier-transformationen opererer på x(t) og ikke t, så skaleringsbetingelsen i stedet skal skrives $\mathcal{F}(ax(t)) = a \mathcal{F}(x(t))$ . Så giver det hele meget bedre mening. Tusind tak!

Skriv et svar til: Linearitet af Fourier-transformationen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.