Matematik

Sigma algebra

11. juli 2018 af Stats - Niveau: Universitet/Videregående

Okay. Jeg tror jeg er ved at forstå sigma algebraer... Nu forsøger jeg lige igen, for at se om jeg har forstået det...

Det hele drejer sig om, at vi skal konstruere en sigma algebra. Der gælder

$\small \\ \Sigma_1 : X\in \mathfrak{A}\\ \Sigma_2 : A\in \mathfrak{A}\Rightarrow A^c\in\mathfrak{A}\\ \Sigma_3 : (A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathfrak{A}\Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\in\mathfrak{A}$

Okay.. Jeg tager et simpelt eksempel.

X = {1,2,3,4,5}

Jeg lader nu A₁ = {1,3,5} og A₂ = {1,2,3,5}

Nu kommer jeg med forskellige sigma-algebraer som jeg mener er en sigma algebra.

$\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,X\}$

Den opfylder (Σ₁). Den opfylder (Σ₂) og den opfylder (Σ₃) hvis (A_n)_n∈N = ∅ for alle n.

$\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2^c),X\}$

Ovenstående er IKKE en sigma algebra, da den ikke opfylder (Σ₂). For at den skulle være en sigma algebra, da skulle mængden $\small (A_1\cup A_2^c)^c$ også være indeholdt i $\small \mathfrak{A}$ . Dvs.

$\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2^c),(A_1\cup A_2^c)^c,X\}$

Er en sigma algebra. Den overholder (Σ₁). Den overholder nu (Σ₂). Og den overholder (Σ₃) eftersom;
A₁ = A₁, A₂ = A₂^c, A₃ = A₄ = A₅ = ... = ∅ og som er en delmængde af en sigma algebra. Derfor er foreningen også i sigma algebraen.

Okay... Mht. en sigma algebra genereret på en mængde..

Vi har σ({A₁}) = {∅,A₁,A₁^c,X} som er den mindste.

Hvis vi har flere mængder, så har vi

σ₁({A₁,A₂}) = {∅, A₁, A₂, A₁^c, A₂^c, (A₁∪A₂^c), (A₁∪A₂^c)^c, X} er ikke korrekt, da det ikke er den mindste sigma algebra genereret på mængden {A₁, A₂}.

σ₂({A₁,A₂}) = {∅, A₁, A₂, A₁^c, A₂^c, X} er korrekt, da det er den mindste sigma algebra, som er genereret på mængden {A₁, A₂}... En hurtig metode til at se at ovenstående σ₁({A₁,A₂}) ikke er korrekt er ved at tage fællesmængden af de to, eftersom et theorem siger, at fællesmængderne over arbitrært mange sigma-algebraer er igen en sigma algebra, og da . σ₂({A₁,A₂}) ⊂ σ₁({A₁,A₂}), så er det klart at σ₂({A₁,A₂}) ∩ σ₁({A₁,A₂}) = σ₂({A₁,A₂})

Er det korrekt? :))

Brugbart svar (2)

Svar #1
11. juli 2018 af guuoo2

Lad os skrive B_n om mængderne i Σ₃ da du kalder dine genererende mængder for A₁ og A₂

X = {1,2,3,4,5}
Jeg lader nu A₁ = {1,3,5} og A₂ = {1,2,3,5}

$\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,X\}$

Den opfylder (Σ₁). Den opfylder (Σ₂) og den opfylder (Σ₃) hvis (B_n)_n∈N = ∅ for alle n.

Lighedstegnet i (B_n)_n∈N = ∅ giver ikke mening, da ∅ ikke er en tællelig række.
Det er rigtigt at Σ₃ passer hvis B_n = ∅ for alle n, men Σ₃ skal gælde hvis bare B_n ∈ $\small \mathfrak{A}$ for alle n.

Det gør den ikke hvis B₁ er A₁, og B₂ er A₂^c, og resten af B_n'erne er ∅, da foreningen dermed er {1,3,4,5} som ikke er blandt de 6 mængder du har inkluderet.

Det du skriver efter "Og den overholder (Σ₃) eftersom ...." er volapyk. Feks. A₂ = A₂^c, da {1,2,3,5} ≠ {4}

"er ikke korrekt, da det ikke er den mindste sigma algebra genereret på mængden" - jo det er den mindste.

Det du kalder σ₂({A1,A2}) er ikke en sigma algebra.

Svar #2
11. juli 2018 af Stats

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #3
11. juli 2018 af Stats

Lighedstegnet i (B_n)_n∈N = ∅ giver ikke mening, da ∅ ikke er en tællelig række.
Det er rigtigt at Σ₃ passer hvis B_n = ∅ for alle n, men Σ₃ skal gælde hvis bare B_n ∈ $\small \small \mathfrak{A}$ for alle n.

Ok... Jeg burde have skrevet (B_n)_n∈N = {∅} = {∅, ∅, ∅,...} eller som du skriver B_n = ∅ for alle n. og kalde mængderne i (Σ₃) for B i stedet for A.

Det gør den ikke hvis B₁ er A₁, og B₂ er A₂^c, og resten af B_n'erne er ∅, da foreningen dermed er {1,3,4,5} som ikke er blandt de 6 mængder du har inkluderet.

Hvilken mængde tænte du på?

$\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,X\}$ er en sigma algebra

$\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2^c),X\}$ er ikke en sigma algebra

$\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2^c),(A_1\cup A_2^c)^c,X\}$ er en sigma algebra

Vi har at (B_n)_n∈N ⊂ $\small \small \mathfrak{A}$ og dermed B=B₁∪B₂∪B₃∪... = A₁∪A₂^c∪∅∪... = {1,3,5}∪{4} = {1,3,4,5} og derved B^c = {2}. Derfor er

$\small \\ \small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2^c),(A_1\cup A_2^c)^c,X\}\\ = \{\{\},\{1,3,5\},\{1,2,3,5\},\{2,4\},\{4\},\{1,3,4,5\},\{2\},\{1,2,3,4,5\}\}$

Vel egentlig en sigma algebra?

"er ikke korrekt, da det ikke er den mindste sigma algebra genereret på mængden" - jo det er den mindste.

Det du kalder σ₂({A₁,A₂}) er ikke en sigma algebra.

Hvorfor er σ₂({A₁,A₂}) ikke en sigma algebra?

Vi har netop at X ∈ σ₂({A₁,A₂}) og derfor er Σ₁ opfyldt.
Vi har netop at A₁,A₁^c ∈ σ₂({A₁,A₂}), A₂,A₂^c∈ σ₂({A₁,A₂}) og X,X^c ∈ σ₂({A₁,A₂}) og derfor er Σ₂ opfyldt.
Vi har netop at B_n = ∅ for alle n, og dermed ∪_n∈N B_n = ∅ ∈ σ₂({A₁,A₂}). Det er indlysende at σ₂({A₁,A₂}) ⊂ σ₁({A₁,A₂}) og derfor må der jo også gælde at den er mindre? En anden måde at se det på er vel egentlig at #σ₂({A₁,A₂}) < #σ₁({A₁,A₂}) såfremt at de er defineret som jeg tror de er.

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (2)

Svar #4
11. juli 2018 af guuoo2

Vi har netop at B_n = ∅ for alle n, og dermed ∪_n∈N B_n = ∅ ∈ σ₂({A₁,A₂}). Det er indlysende at σ₂({A₁,A₂}) ⊂ σ₁({A₁,A₂}) og derfor må der jo også gælde at den er mindre? En anden måde at se det på er vel egentlig at #σ₂({A₁,A₂}) < #σ₁({A₁,A₂}) såfremt at de er defineret som jeg tror de er.

Hvorfor er B_n = ∅

Svar #5
11. juli 2018 af Stats

Det er vel valgfrit hvilken sekvens/følge jeg vælger, så længe at B_n blot er en delmængde af sigma algebraen? Derfor vælger jeg sekvensen B_n = ∅.

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (2)

Svar #6
11. juli 2018 af guuoo2

$\Sigma_3 : (A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathfrak{A}\Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\in\mathfrak{A}$

Betyder at uanset hvilken tællelig følge af mængder fra der vælges, så gælder højresiden.

Det du skriver i #5 er
$\Sigma_3 :\exists (A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathfrak{A}\Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\in\mathfrak{A}$
som er svagere, og overflødig givet sigma 1 og 2, da sigma 1 siger at X er med, hvormed Ø er med ifølge sigma 2. Derfor er den forkerte sigma 3 opfyldt med B_n = Ø trivielt.

Svar #7
12. juli 2018 af Stats

Ok...

Så vi har egentlig {Ø,A₁,A₂,A₁^c, A₂^c, X} som kun opfylder Σ₁ og Σ₂.

X∪A₁ = X
X∪A₂ = X
X∪A₁^c = X
X∪A₂^c = X.

A₁∪A₂ = A₂
A₁∪A₁^c = X
A₁∪A₂^c = {1,3,4,5}

A₂∪A₁^c = X
A₂∪A₂^c = X

A₁^c ∪A₂^c = A₁^c

Nu har jeg taget foreningerne af alle de mulige mængder der kan laves... Den eneste som ikke allerede ligger i $\small \mathfrak{A}$ er netop mængden A₁∪A₂^c. Så den skal med... (og selvfølgelig også komplementær hændelsen)...

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Jeg forsøger igen...

Hvis jeg så ændre på X. Lad os sige, X = N. Jeg vælger nu to mængder A₁ = 2n, A₂ = 3n n∈N.

Nedenfor har jeg forsøgt at lave alle foreninger ud fra A₁,A₂,A₁^c,A₂^c..

A₁ ∪A₂ = {2,4,6,8,10,...}∪{3,6,9,12,...} = {2,3,4,6,8,9,10,12,...}
A₁∪A₁^c = X
A₁∪A₂^c = {2,4,6,8,10,...}∪{1,2,4,5,7,8,...} = {1,2,4,5,6,7,8,10,..}

A₂∪A₁^c = {3,6,9,12,...}∪{1,3,5,7,9,...} = {1,3,5,6,7,9,11,12,13,...}
A₂∪A₂^c = X

A₁^c∪A₂^c = {1,3,5,7,9,11,...}∪{1,2,4,5,7,8,10,11,...} = {1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,...}

Ok... Dvs. at

$\small \mathfrak{A}=\{\emptyset, A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,X\}$ er IKKE en σ-algebra.
Den overholder (Σ₁)
Den overholder (Σ₂)
Den overholder ikke (Σ₃)

$\small \mathfrak{A}=\{\emptyset, A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2),X\}$ IKKE er en σ-algebra..
Den overholder (Σ₁)
?Den overholder ikke (Σ₂)
Den overholder ikke (Σ₃).

$\small \small \mathfrak{A}=\{\emptyset, A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2),(A_1\cup A_2)^c,X\}$ IKKE en σ-algebra..
Den overholder (Σ₁)
Den overholder (Σ₂)
Den overholder ikke (Σ₃)

$\small \mathfrak{A}=\{\emptyset, A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2),(A_1\cup A_2^c),(A_1^c\cup A_2),(A_1^c\cup A_2^c),X\}$ IKKE en σ-algebra.
Den overholder (Σ₁)
Den overholder ikke (Σ₂)
Den overholder (Σ₃)

$\small \\ \mathfrak{A}=\{\emptyset, A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2),(A_1\cup A_2^c),(A_1^c\cup A_2),(A_1^c\cup A_2^c),\\ {\color{White} .}\ \ \ \ \ \ (A_1\cup A_2)^c,(A_1\cup A_2^c)^c,(A_1^c\cup A_2)^c,(A_1^c\cup A_2^c)^c,X\}$ Er en σ-algebra.
Den overholder (Σ₁)
Den overholder (Σ₂)
Den overholder (Σ₃).

Jeg er lidt usikker på om (Σ₃) er overholdt, da jeg ikke har sikret mig om der findes en delmængde af $\small \mathfrak{A}$ som giver en ny mængde ved foreningerne.. Håber det er korrekt :)

Hvis vi nu forsøger at finde σ-algebra genereret ud fra en mængde,

σ({A1,A2}) er netop mængden fra før.

σ({A₁}) = {∅,A₁,A₁^c,X}. Den overholder alle kriterier for en σ-algebra. Har jeg endelig forstået det nu? :-/

- - -

Mvh Dennis Svensson

Skriv et svar til: Sigma algebra

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.