Matematik

Sigma algebra

11. juli kl. 10:57 af JohnForbesNash - Niveau: Universitet/Videregående

Okay. Jeg tror jeg er ved at forstå sigma algebraer... Nu forsøger jeg lige igen, for at se om jeg har forstået det...

Det hele drejer sig om, at vi skal konstruere en sigma algebra. Der gælder

\small \\ \Sigma_1 : X\in \mathfrak{A}\\ \Sigma_2 : A\in \mathfrak{A}\Rightarrow A^c\in\mathfrak{A}\\ \Sigma_3 : (A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathfrak{A}\Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\in\mathfrak{A}

Okay.. Jeg tager et simpelt eksempel.

X = {1,2,3,4,5}

Jeg lader nu A1 = {1,3,5} og A2 = {1,2,3,5}

Nu kommer jeg med forskellige sigma-algebraer som jeg mener er en sigma algebra.

\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,X\}

Den opfylder (Σ1). Den opfylder (Σ2) og den opfylder (Σ3) hvis (An)n∈N = ∅ for alle n.

\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2^c),X\}

Ovenstående er IKKE en sigma algebra, da den ikke opfylder (Σ2). For at den skulle være en sigma algebra, da skulle mængden \small (A_1\cup A_2^c)^c også være indeholdt i \small \mathfrak{A}. Dvs.

\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2^c),(A_1\cup A_2^c)^c,X\}

Er en sigma algebra. Den overholder (Σ1). Den overholder nu (Σ2). Og den overholder (Σ3) eftersom;
A1 = A1, A2 = A2c, A3 = A4 = A5 = ... = ∅ og som er en delmængde af en sigma algebra. Derfor er foreningen også i sigma algebraen.

Okay... Mht. en sigma algebra genereret på en mængde..

Vi har σ({A1}) = {∅,A1,A1c,X} som er den mindste.

Hvis vi har flere mængder, så har vi 

σ1({A1,A2}) = {∅, A1, A2, A1c, A2c, (A1∪A2c), (A1∪A2c)c, X} er ikke korrekt, da det ikke er den mindste sigma algebra genereret på mængden {A1, A2}.

σ2({A1,A2}) = {∅, A1, A2, A1c, A2c, X} er korrekt, da det er den mindste sigma algebra, som er genereret på mængden {A1, A2}... En hurtig metode til at se at ovenstående σ1({A1,A2}) ikke er korrekt er ved at tage fællesmængden af de to, eftersom et theorem siger, at fællesmængderne over arbitrært mange sigma-algebraer er igen en sigma algebra, og da . σ2({A1,A2}) ⊂ σ1({A1,A2}), så er det klart at σ2({A1,A2}) ∩ σ1({A1,A2}) = σ2({A1,A2})

Er det korrekt? :))


Brugbart svar (2)

Svar #1
11. juli kl. 11:17 af guuoo2

Lad os skrive Bn om mængderne i Σ3 da du kalder dine genererende mængder for A1 og A2

X = {1,2,3,4,5}

Jeg lader nu A1 = {1,3,5} og A2 = {1,2,3,5}

\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,X\}

Den opfylder (Σ1). Den opfylder (Σ2) og den opfylder (Σ3) hvis (Bn)n∈N = ∅ for alle n.

Lighedstegnet i  (Bn)n∈N = ∅  giver ikke mening, da ∅ ikke er en tællelig række.
Det er rigtigt at Σ3 passer hvis Bn = ∅ for alle n, men Σ3 skal gælde hvis bare Bn ∈ \small \mathfrak{A} for alle n.

Det gør den ikke hvis B1 er A1, og B2 er A2c, og resten af Bn'erne er ∅, da foreningen dermed er {1,3,4,5} som ikke er blandt de 6 mængder du har inkluderet.

Det du skriver efter "Og den overholder (Σ3) eftersom ...." er volapyk. Feks. A2 = A2c, da {1,2,3,5} ≠ {4}

"er ikke korrekt, da det ikke er den mindste sigma algebra genereret på mængden" - jo det er den mindste.

Det du kalder σ2({A1,A2}) er ikke en sigma algebra.


Svar #2
11. juli kl. 11:52 af JohnForbesNash

.

- - -

Mvh Dennis Svensson


Svar #3
11. juli kl. 13:07 af JohnForbesNash

Lighedstegnet i  (Bn)n∈N = ∅  giver ikke mening, da ∅ ikke er en tællelig række.
Det er rigtigt at Σ3 passer hvis Bn = ∅ for alle n, men Σ3 skal gælde hvis bare Bn ∈  \small \small \mathfrak{A}  for alle n.

Ok... Jeg burde have skrevet (Bn)n∈N = {∅} = {∅, ∅, ∅,...} eller som du skriver Bn = ∅ for alle n. og kalde mængderne i (Σ3) for B i stedet for A.

Det gør den ikke hvis B1 er A1, og B2 er A2c, og resten af Bn'erne er ∅, da foreningen dermed er {1,3,4,5} som ikke er blandt de 6 mængder du har inkluderet.

Hvilken mængde tænte du på?

\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,X\} er en sigma algebra

\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2^c),X\} er ikke en sigma algebra

\small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2^c),(A_1\cup A_2^c)^c,X\} er en sigma algebra

Vi har at (Bn)n∈N ⊂ \small \small \mathfrak{A} og dermed B=B1∪B2∪B3∪... = A1∪A2c∪∅∪... = {1,3,5}∪{4} = {1,3,4,5} og derved Bc = {2}. Derfor er 

\small \\ \small \mathfrak{A}=\{\emptyset,A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2^c),(A_1\cup A_2^c)^c,X\}\\ = \{\{\},\{1,3,5\},\{1,2,3,5\},\{2,4\},\{4\},\{1,3,4,5\},\{2\},\{1,2,3,4,5\}\}

Vel egentlig en sigma algebra?

"er ikke korrekt, da det ikke er den mindste sigma algebra genereret på mængden" - jo det er den mindste.

Det du kalder σ2({A1,A2}) er ikke en sigma algebra.

 Hvorfor er σ2({A1,A2}) ikke en sigma algebra?

Vi har netop at X ∈ σ2({A1,A2}) og derfor er Σ1 opfyldt.
Vi har netop at A1,A1c ∈ σ2({A1,A2}), A2,A2∈ σ2({A1,A2}) og X,Xc ∈ σ2({A1,A2}) og derfor er Σ2 opfyldt.
Vi har netop at Bn = ∅ for alle n, og dermed ∪n∈N Bn = ∅ ∈ σ2({A1,A2}). Det er indlysende at σ2({A1,A2}) ⊂ σ1({A1,A2}) og derfor må der jo også gælde at den er mindre? En anden måde at se det på er vel egentlig at #σ2({A1,A2}) < #σ1({A1,A2}) såfremt at de er defineret som jeg tror de er.

- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (2)

Svar #4
11. juli kl. 13:44 af guuoo2

Vi har netop at Bn = ∅ for alle n, og dermed ∪n∈N Bn = ∅ ∈ σ2({A1,A2}). Det er indlysende at σ2({A1,A2}) ⊂ σ1({A1,A2}) og derfor må der jo også gælde at den er mindre? En anden måde at se det på er vel egentlig at #σ2({A1,A2}) < #σ1({A1,A2}) såfremt at de er defineret som jeg tror de er.

Hvorfor er Bn = ∅


Svar #5
11. juli kl. 14:03 af JohnForbesNash

Det er vel valgfrit hvilken sekvens/følge jeg vælger, så længe at Bn blot er en delmængde af sigma algebraen? Derfor vælger jeg sekvensen Bn = ∅.

- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (2)

Svar #6
11. juli kl. 14:18 af guuoo2

\Sigma_3 : (A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathfrak{A}\Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\in\mathfrak{A}

Betyder at uanset hvilken tællelig følge af mængder fra \mathfrak{A} der vælges, så gælder højresiden.

Det du skriver i #5 er
\Sigma_3 :\exists (A_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathfrak{A}\Rightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n\in\mathfrak{A}
som er svagere, og overflødig givet sigma 1 og 2, da sigma 1 siger at X er med, hvormed Ø er med ifølge sigma 2. Derfor er den forkerte sigma 3 opfyldt med Bn = Ø trivielt.


Svar #7
12. juli kl. 11:20 af JohnForbesNash

Ok...

Så vi har egentlig {Ø,A1,A2,A1c, A2c, X} som kun opfylder Σ1 og Σ2.

X∪A1 = X 
X∪A2 = X 
X∪A1c = X 
X∪A2c = X.

A1∪A2 = A2
A1∪A1c = X
A1∪A2c = {1,3,4,5}

A2∪A1c = X
A2∪A2c = X

A1c ∪A2c = A1c

Nu har jeg taget foreningerne af alle de mulige mængder der kan laves... Den eneste som ikke allerede ligger i \small \mathfrak{A} er netop mængden A1∪A2c. Så den skal med... (og selvfølgelig også komplementær hændelsen)... 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Jeg forsøger igen...

Hvis jeg så ændre på X. Lad os sige, X = N. Jeg vælger nu to mængder A1 = 2n, A2 = 3n n∈N.

Nedenfor har jeg forsøgt at lave alle foreninger ud fra A1,A2,A1c,A2c..

A1 ∪A2 = {2,4,6,8,10,...}∪{3,6,9,12,...} = {2,3,4,6,8,9,10,12,...}
A1∪A1c = X
A1∪A2c = {2,4,6,8,10,...}∪{1,2,4,5,7,8,...} = {1,2,4,5,6,7,8,10,..}

A2∪A1c = {3,6,9,12,...}∪{1,3,5,7,9,...} = {1,3,5,6,7,9,11,12,13,...}
A2∪A2c = X

A1c∪A2c = {1,3,5,7,9,11,...}∪{1,2,4,5,7,8,10,11,...} = {1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,...}

Ok... Dvs. at

\small \mathfrak{A}=\{\emptyset, A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,X\} er IKKE en σ-algebra.
Den overholder (Σ1)
Den overholder (Σ2)
Den overholder ikke3)

\small \mathfrak{A}=\{\emptyset, A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2),X\} IKKE er en σ-algebra..
Den overholder (Σ1)
?Den overholder ikke2)
Den overholder ikke (Σ3).

\small \small \mathfrak{A}=\{\emptyset, A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2),(A_1\cup A_2)^c,X\} IKKE en σ-algebra..
Den overholder (Σ1)
Den overholder (Σ2)
Den overholder ikke3)

\small \mathfrak{A}=\{\emptyset, A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2),(A_1\cup A_2^c),(A_1^c\cup A_2),(A_1^c\cup A_2^c),X\} IKKE en σ-algebra.
Den overholder (Σ1)
Den overholder ikke2)
Den overholder (Σ3)

\small \\ \mathfrak{A}=\{\emptyset, A_1,A_2,A_1^c,A_2^c,(A_1\cup A_2),(A_1\cup A_2^c),(A_1^c\cup A_2),(A_1^c\cup A_2^c),\\ {\color{White} .}\ \ \ \ \ \ (A_1\cup A_2)^c,(A_1\cup A_2^c)^c,(A_1^c\cup A_2)^c,(A_1^c\cup A_2^c)^c,X\} Er en σ-algebra.
Den overholder (Σ1)
Den overholder (Σ2)
Den overholder (Σ3).

Jeg er lidt usikker på om (Σ3) er overholdt, da jeg ikke har sikret mig om der findes en delmængde af \small \mathfrak{A} som giver en ny mængde ved foreningerne.. Håber det er korrekt :)

Hvis vi nu forsøger at finde σ-algebra genereret ud fra en mængde,

σ({A1,A2}) er netop mængden fra før.

σ({A1}) = {∅,A1,A1c,X}. Den overholder alle kriterier for en σ-algebra. Har jeg endelig forstået det nu? :-/

- - -

Mvh Dennis Svensson


Skriv et svar til: Sigma algebra

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.