Differentialligningssystem

Du kan godt vælge en anden egenvektor for eks. (8, 2) eller (-40, -10); men du kan ikke vælge (4, 1)t fordi det er en funtion af t

Hvis den 2, gradsligning du får for egenværdierne er a+ib og a-ib får du løsningen c1*e*^(a+bi)t+c2*e*^(a-bi)t = c1*(e^at(cos(bt)+i*sin(bt) ) + c2*(e^at(cos(bt)-*sin(bt) ) = (c1+c2)*e^atcos(bt)+(c1-c2)*i*e^atsin(bt) Det er en linearkombination af de reelle løsninger og kan derfor også bruges som basis

Du vælger blot c3=c1+c2 og c4 =(c1-c2)*i

Svaret på "Får vi det samme resultat hvis vi finder løsningen ved hjælp af den fuldstændige komplekse løsning som ved hjælp af den fuldstændige reelle løsning?" Er vel ja?

Jeg må indrømme at jeg ikke er helt med på hvad du snakker om i den sidste halvdel af #1. ?

Opgaveformuleringen inden opgave F står der "...reel variabel med C som tilhørende skalar-legeme."

Hvad betyder dette?

H

Man kan bruge struktursætningen

Man kan finde den homogene løsningsmængde ved metoder beskrevet i disse noter https://01005.compute.dtu.dk/enotes/17_-_Lineaere_foerste_ordens_differentialligningssystemer.

Derefter man man så gætte en partikulære løsning x0.

Korrekt.

Den første sætning i opgave F betyder, at er et vektorrum over . Bemærk, at det er veldefineret, for hvis og er uendeligt ofte differentiabel, så er a*f(x) også uendeligt ofte differentiabel og har en reel variabel.

Tak for svaret. Men det var ikke det jeg spørgte om :D

#2 Jeg kan skrive det kortere selvom jeg ikke er sikker p at det vil hjælpe dig. De komplekse løsninger kan skrives som en lnearkombination c1*e^r1*t +c2*e^r2*t  hvor c1, c2, r1 og r2 er komplekse tal. Da de komplekse funktioner kan skrives som en linearkombination af reelle funktioner kan du indsætte dem i stedet for. Da differentialligningen har en entydig løsning hvis man kender c1 og c2 får man samme løsning.

#3 Der menes blot at c1 og c2 er komplekse tal

#4 korrekt

Du kan selvfølgelig vende tibage hvis der er noget du ikke forstår gerne med beskrivelse af hvad der går galt

okay. Bare for at være helt sikker så var det sdiste del af dit svar i #1 til "Får vi det samme resultat hvis vi finder løsningen ved hjælp af den fuldstændige komplekse løsning som ved hjælp af den fuldstændige reelle løsning"

O

Hvordan kan jeg vise at c1 og c2 er entyde for hvert sæt (t0,a0,b0) ?

Du skal have en oplysning mere for eks. at du kender f'(t₀) Du får to lineære ligninger med to ubekendte, som du kan løse.

Rettele til #10. Du skal ikke have en oplysning mere. Jeg tænkte på 2. ordens differentialligninger. Den sidste sætning er rigtig

Nå, okay. Det var også det gjorte.