Matematik

Kontunuitet

03. august 2018 af 17P (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, jeg har følgende spørgsmål jeg ikke kan finde ud af:

Benyt kravet om bølgefunktionens kontinuitet $\Phi _{m}(\phi)=\Phi _{m}(\phi+2\pi )$ , til at fastlægge de tilladte værdier af m

Hvor bølgefunktionen er:

$\Phi _{m}(\phi)=Ne_{ }^{im\phi }$

Facit giver

$e_{ }^{im2\pi }=1$ med m=0,+-1,+-2,....

Jeg ved ikke hvordan man kommer frem til følgende facit.

Håber der er nogle der kan hjæple mig :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. august 2018 af Drunkmunky

Lad m være et reelt tal og betragt $\Phi_{m}(\phi)=\Phi_{m}(\phi+2\pi)\ \Leftrightarrow \ Ne^{im\phi}=Ne^{im(\phi+2\pi)}$ .

Du får så, at $Ne^{im\phi}=Ne^{im(\phi+2\pi)} \ \Leftrightarrow \ e^{im\phi}=e^{im\phi+2im\pi}\ \Leftrightarrow\ e^{im\phi}=e^{im\phi}e^{2im\pi}$ (hvis N er forskellig fra nul). Ved at dividere med $e^{im\phi}$ på begge sider, ser du, at m opfylder ligningen $1=e^{im2\pi}$ .

Genkald nu Eulers formel: $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ . Ved at lade x=m2π så ser vi, at

$1=e^{im2\pi}=\cos(m2\pi)+i\sin(m2\pi)$ , og da m2π er et reelt tal er både cos(m2π) og sin(m2π) reele tal og vi har derfor, at i*sin(m2π)=0. Mao. har vi, at sin(m2π)=0. Vi ved dog hvilke reele rødder sin har, nemlig 0+2πk og π+2πn for heltal k og n. Så vi ser at enten er m et vilkårligt heltal, ellers er m=n/2 for vilkårlige heltal n. Det andet tilfælde er dog ikke muligt, thi hvis m=n/2 for et heltal n, så er

$1=\cos(m2\pi)=\cos(\frac{n}{2}2\pi)=\cos(n\pi) \ \Leftrightarrow\ n=2\ell \ \text{med }\ell\in\mathbb{Z}$

Vi konkluderer derfor, at $m=\frac{n}{2}=\frac{2\ell}{2}=\ell\in\mathbb{Z}$ , og svaret på opgaven er derfor, at de tilladte værdier af m er heltallene ( $\mathbb{Z}$ ), i.e. m=0,±1,±2,...

Skriv et svar til: Kontunuitet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.