Matematik

Integrering

03. september 2018 af Jens23458 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hvem kan finde ud af at løse følgende integrale, jeg er ret ny til integralregning, da jeg sidst havde matematik for 4 år siden.

$\int_{1}^{\propto }$ $\frac{1}{x^2}dx$

Symbolet skulle forstille ugenlig i integralet.

Brugbart svar (1)

Svar #1
03. september 2018 af swpply (Slettet)

Dit integral er et uegentlig integral. Betragt derfor det nært beslægtet integral

$I_a = \int_1^a\frac{1}{x^2}dx.$

Stamfunktionen til x^-2 er -x^-1, dette kan du nemt eftervise ved at differentiere -x^-1. Derfor har du at

$\begin{align*} I_a &= \bigg[-\frac{1}{x}\bigg]_1^a \\ &= 1 - \frac{1}{a}. \end{align*}$

Dermed har du at

$\begin{align*} \int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx &= \lim_{a\rightarrow\infty}I_a \\ &= 1 - \underbrace{\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{1}{a}}_{=0} \\ &= 1 \end{align*}$ .

Skriv endelig, hvis du har uddybende spørgsmål :-)

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. september 2018 af StoreNord

$[\frac{-1}{x}]^{\inf}_{1}$

Svar #3
03. september 2018 af Jens23458 (Slettet)

#1
Dit integral er et uegentlig integral. Betragt derfor det nært beslægtet integral

$I_a = \int_1^a\frac{1}{x^2}dx.$

Stamfunktionen til x^-2 er -x^-1, dette kan du nemt eftervise ved at differentiere -x^-1. Derfor har du at

$\begin{align*} I_a &= \bigg[-\frac{1}{x}\bigg]_1^a \\ &= 1 - \frac{1}{a}. \end{align*}$

Dermed har du at

$\begin{align*} \int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx &= \lim_{a\rightarrow\infty}I_a \\ &= 1 - \underbrace{\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{1}{a}}_{=0} \\ &= 1 \end{align*}$ .

Skriv endelig, hvis du har uddybende spørgsmål :-)

Hvor kommer $I_a$ fra?

Svar #4
03. september 2018 af Jens23458 (Slettet)

Forresten hvilken ændring ville hele regnestykket have hvis man erstattede ugentlighedstegnet med 1 i stedet for?

Brugbart svar (2)

Svar #5
03. september 2018 af swpply (Slettet)

Som jeg skriver, skal vi betragte det nært beslægtet integral som her er benævnt $I_a$ .

$I_a$ er altså et integral som vi indføre i opgave besvarelsen.

Det integral du er intereseret i at evaluere fremkommer som $\lim_{a\rightarrow\infty}I_a$ , du kan tænke på denne størrelse som $I_\infty$ .

Brugbart svar (1)

Svar #6
03. september 2018 af swpply (Slettet)

$I_a$ er blot en bekvæmmelig størrelse at indføre for at gøre alle mellemregningerne mere gennemskuelige.

Brugbart svar (1)

Svar #7
03. september 2018 af swpply (Slettet)

Genneralt er det god skik at indføre en sådan størrelse som $I_a$ , når det bestemte integral man oprindeligt betragter har $\pm\infty$ som en eller begge grænser.

Brugbart svar (1)

Svar #8
03. september 2018 af swpply (Slettet)

#4
Forresten hvilken ændring ville hele regnestykket have hvis man erstattede ugentlighedstegnet med 1 i stedet for?

Så ville integrallet blive trivielt nul. Eftersom at der generalt gælder at

$\int_a^a f(x)\,dx = 0$

for alle værdier af a og for en hvilken som helst integrabel funktion f.

Svar #9
03. september 2018 af Jens23458 (Slettet)

#8
#4
Forresten hvilken ændring ville hele regnestykket have hvis man erstattede ugentlighedstegnet med 1 i stedet for?

Så ville integrallet blive trivielt nul. Eftersom at der generalt gælder at

$\int_a^a f(x)\,dx = 0$

for alle værdier af a og for en hvilken som helst integrabel funktion f.

Kan du vise hvordan man gøre?

Brugbart svar (1)

Svar #10
03. september 2018 af swpply (Slettet)

#9
#8
#4
Forresten hvilken ændring ville hele regnestykket have hvis man erstattede ugentlighedstegnet med 1 i stedet for?

Så ville integrallet blive trivielt nul. Eftersom at der generalt gælder at

$\int_a^a f(x)\,dx = 0$

for alle værdier af a og for en hvilken som helst integrabel funktion f.

Kan du vise hvordan man gøre?

Hvis vi bruger definition af $I_a$ fra svar #1. Er det da klart for dig at "hvilken ændring ville hele regnestykket have hvis man erstattede ugentlighedstegnet med 1 i stedet for?" svare til at evaluere integralet $I_1$ (dvs. at sætte a = 1)?

Hvis ja, brug da at vi fra svar #1 har at

$I_a = 1-\frac{1}{a},$

hvorfor at

$\begin{align*} I_1 &= 1-\frac{1}{1} \\ &= 0 \end{align*}$

Svar #11
03. september 2018 af Jens23458 (Slettet)

den eneste ændring er at vi erstatter blot $I_a$ med $I_1$ ?

Brugbart svar (1)

Svar #12
03. september 2018 af swpply (Slettet)

#11
den eneste ændring er at vi erstatter blot $I_a$ med $I_1$ ?

Tænk på $I_a$ som en funktion af a (for a ≥ 1).

Så integralet

$\int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx$

svare til at evaluere funktionen $I_a$ i grænsen a → ∞. Ligeledes svare integralet

$\int_1^1\frac{1}{x^2}dx$

til at evaluere funktionen $I_a$ i a = 1.

Kan du fortælle mig hvordan vi nemt kunne bestemme integralet

$\int_1^\pi\frac{1}{x^2}dx$ ?

Brugbart svar (1)

Svar #13
03. september 2018 af swpply (Slettet)

NB. Istedet for $I_a$ kunne vi havde skrevet $I(a)$ . Denne notation minder måske mere om den du er bekendt med fra benævnelsen af funktioner. Altså

$I(a) = \int_1^a\frac{1}{x^2}dx$

Skriv et svar til: Integrering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.