Matematik

Fjerdegradsligning

20. september 2018 af Fysikper (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har en opgave som lyder:

Find samtlige løsninger til ligningen
2z^4-4z^3-16z+32=0

Har prøvet at sætte z udenfor, men får det ikke rigtig til at give mening og jeg får heller ikke sat y= z^2 fordi det er oplyftet i ulige og lige tal?
z^2(2z^2-4z)-16z+32=0?

Tusind tak for hjælpen på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. september 2018 af swpply (Slettet)

I hvilket domæne leder du efter løsninger? Heltal, reelle eller komplekse ??

Svar #2
20. september 2018 af Fysikper (Slettet)

Jeg leder efter alle løsninge

De rigtige svar skulle være: 2,−1+i√3,−1−i√3

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. september 2018 af swpply (Slettet)

Perfekt, så dit domæne er de komplekse tal $\mathbb{C}$ .

Giv mig lige 5 minuter til at udfærdige en læselig løsning af ligningen ;-)

Brugbart svar (1)

Svar #4
20. september 2018 af swpply (Slettet)

Begynd med at observere at fjerdegradsligning

(1) $2z^4 - 4z^3 - 16z + 32 = 0$

kan skrives på følgende form

(2) $2(z^4 - 2z^3 - 2^3z + 2^4) = 0$ .

Fra ovenstående ses det trivielt at $z = 2$ er en løsning. Hvorfor at (1) kan skrives på følgende generalle form

(3) $2(z-2)(z^3+\alpha z^2 + \beta z + \gamma) = 0$

for passende værdier af $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{C}$ . Ganger du nu (3) ud har du at

(4) $2z^4 +2(a-2)z^3 + 2(b-2a)z^2 + 2(c-2b)z - 4c = 0$ .

og ved sammenliging af (4) med (1) har vi fire ligninger med tre ubkendte:

(5) $\begin{align*} \left. \begin{aligned} 2(\alpha-2) &= -4 \\ 2(\beta-2\alpha) &= 0 \\ 2(\gamma-2\beta) &= -16 \\ -4\gamma &= 32 \end{aligned} \right\rbrace \qquad\Rightarrow\qquad (\alpha,\beta,\gamma) = (0,0-8) \end{align*}$

Dermed har vi at (1) er ækvivalent med

(6) $2(z-2)(z^3-8) = 0$ .

Prøv om du kan løse det sidste selv. Hvis ikke er du selvfølgelig velkommen til at skrive igen ;-)

Svar #5
20. september 2018 af Fysikper (Slettet)

Hmm.. Jeg burde forstå det her men det gør jeg desværre ikke.

Hvordan ser du at z=2 er en løsning og hvad mener du skriver det på general form?

Det er måske lidt meget at svare på, men er det noget jeg kan søge på nettet for at få en bedre forståelse?

Brugbart svar (1)

Svar #6
20. september 2018 af swpply (Slettet)

Hvordan ser du at z=2 er en løsning

Vis du ikke ser det trivielt udfra (2), så må du jo blive nødt til at substituere $z = 2$ ind i (1) (eller (2)) og tjekke at den også rigtig er en løsning.

hvad mener du skriver det på general form?

Ligesom at du har lært at

(7) $ax^2+bx+c = 0$

for $a\neq 0$ er en genral form for en andengradsligning. Ligeledes er

(8) $a_4z^4 + a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0 = 0$

for $a_4\neq 0$ en general form en enhver fjerdegradsligning. Ligning (3) er på denne generalle form fordi ved at hæve parenteserne fremkommer (4) og som du kan se er (4) på formen (8).

Brugbart svar (1)

Svar #7
20. september 2018 af swpply (Slettet)

Den grundliggende idé i #4 er at faktorisere (1). Altså at finde tal $r_1,r_2,r_3,$ og $r_4$ således at (1) kan skrives på formen

(9) $2(z-r_1)(z-r_2)(z-r_3)(z-r_4) = 0$

fordi så giver nulreglen at tallende $r_1,r_2,r_3,$ og $r_4$ er rødder for fjerdegradsligning (1). At $z = 2$ er en løsning til (1) svare til at vi har fundet den "første" af disse fire rødder, altså at $r_1 = 2$ .

Du bemærker nok at (6) ikke helt endnu er på formen (9). For at komme den sidste vej skal du blot løse ligningen

(10) $z^3 = 8$ .

Dette er en tredjegradsligning (en nem en af slagsen) og har som bekendt løsningerne $z = 2$ eller $z = -1\pm i\sqrt{3}$ . Altså er $r_2 = 2,\ r_3 = -1 + i\sqrt{3},$ og $r_4 = -1 - i\sqrt{3}$ . Hvorfor at

(11) $2(z-2)(z-2)\big(z-(-1 + i\sqrt{3})\big)\big(z-(-1 - i\sqrt{3})\big) = 0$

er vores fjerdegradsligning i (1). Du kan bekrafte dette ved at hæve samtlige af parenteserne.

Hvorfor at $z=2$ (algebraisk multiplicitet 2) og $z = -1\pm i\sqrt{3}$ er alle løsninger til fjerdegradsligningen. Hvordan ved vi det er alle? Algebraens fundamentalsætning sikre os at en hvilken somhelst fjeregradsliging har eksakt fire komplekse løsninger (inkluderet algebraisk multiplicitet).

Brugbart svar (1)

Svar #8
20. september 2018 af Festino

Jeg ville starte med at dividere igennem med 2, hvilket giver

$z^4-2z^3-8z+16=0$ .

Derefter ville jeg gætte, at $z=2$ er en løsning (indses ved at sætte ind), hvorfor ligningen kan omskrives til

$(z-2)\cdot(z^3-8)=0$ .

Du skal nu bare løse ligningen $z^3=8$ , hvilket jeg regner med, at du ved, hvordan man gør. Ellers må du skrive igen. Løsningerne er 2 og $2(-i\pm\sqrt{3})$ .

Redigering: Jeg var vist lidt for hurtig, idet jeg nu ser, at jeg faktisk har gjort det samme som i #4. Jeg håber, at det er klart, at

$(z-2)\cdot(z^3-8)=z^4-2z^3-8z+16$ .

Brugbart svar (0)

Svar #9
20. september 2018 af swpply (Slettet)

$\quad$

Brugbart svar (0)

Svar #10
20. september 2018 af Festino

#9: Det er det heller ikke. Jeg syntes bare, det så langt ud, og så læste jeg det ikke ordentligt igennem, inden jeg skrev mit eget indlæg. Beklager, det gik for hurtigt.

Svar #11
20. september 2018 af Fysikper (Slettet)

TUSIND tak for svaret! Det blev forklaret så godt at selv en 3-årig kunne forstå det. I er nogle legender!

Brugbart svar (2)

Svar #12
20. september 2018 af swpply (Slettet)

Grunden til at jeg i #4 siger at jeg trivielt kan se $z=2$ er en løsning udfra (2). Er at samtlige koefficienter er en potens af 2. Men ikke nok med det, så er er potensen af 2 i n'te grads ledet givet ved 4-n. Og da der er ligeså mange "pluser" som "minuser" vil alle ledende altså ophave hinanden.

$\underbrace{2^4}_{z^4}-2\cdot\underbrace{2^3}_{z^3}-2^3\cdot\underbrace{2}_{z^1}+2^4\cdot\underbrace{1}_{z^0} = 0$

Men hvis du ikke indser ved at kigge på (2), så er der ikke andet for end at gætte sig frem. Det kan godt være at matematik ikke er nogen empirsk videnskab, men det behøves ikke indebære at man ikke må "eksperimentere", gætte og prøve sig frem ;-)

#10 Det er helt iroden :-) Jeg komenteret det bare for at undgå at der skulle opstå forvirring. Ja, mine svar er unødvendig lange hvis man har rutine i at løse højer ordens linære ligninger. Men i Fysikpers tilfælde, hvor dette formegentlig er hans første gang (vi har alle været i den situation ;-)) tænkte jeg at en udførlig gennemgang var begrundet.

Brugbart svar (1)

Svar #13
20. september 2018 af swpply (Slettet)

#11
TUSIND tak for svaret! Det blev forklaret så godt at selv en 3-årig kunne forstå det. I er nogle legender!

Det er godt Fysikper.

Vi er glade for at kunne havde hjulpet :-)

Skriv et svar til: Fjerdegradsligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.