Matematik

grænseværdi

21. september 2018 af sajana - Niveau: Universitet/Videregående

Hej er der en herinde der eventuelt kan hjælpe mig med denne opgave. Fnktionen: (2/x)-2*cos(x)/sin(x).

Find grænseværdien til limx->phi^-. Jeg ved godt at jeg skal bruge l hospitalsreglen og det har jeg også gjort. Jeg får så 2/x-2*cos(x)/sin(x)

giver

0/2-2*(-sin(phi)/cos(phi) hele udtrykket giver nul og det skal gerne give uendelig ifølge maple

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. september 2018 af mathon

$\small \small \small \underset{x\rightarrow \pi^- }{\lim }\: \frac{2}{x}-2\cdot \frac{1}{\tan(x)}=-\frac{2}{\pi }-2\cdot \frac{1}{\frac{1}{\infty}}=-\frac{2}{\pi }-2\cdot \infty=-\infty$

Svar #2
21. september 2018 af sajana

hvor får du 1/endelig fra

Svar #3
21. september 2018 af sajana

og med maple giver det uendelig

Svar #4
21. september 2018 af sajana

jeg skal også bevise at f(x)=0 ikke har nogen løsninger i (0,phi) og at den har en løsning i (phi,2phi) jeg har løst for f(x)=0 og får -7,29 hvilket ikke ligger i phi til 2hi??

Brugbart svar (2)

Svar #5
21. september 2018 af swpply (Slettet)

Du kan hverken gøre som i #1 eller bruge l'Hospitals regel (find l'Hospitals regel i din matematik bog og læs grundigt hvilke betingelser der skal være opfyldt før at den er gyldig).

Betragt grænseværdien for $\cot(x)$ for $x\rightarrow\pi$ fra venstre. Dvs. følgende grænseværdi

$\lim_{x\rightarrow\pi^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Lad nu $x = \pi - \delta$ for $0<\delta<1$ , det er fordelagtigt at tænk på $\delta$ som et uhyr lille postivt tal. Da gælder der at

$\begin{align*} \frac{\cos(x)}{\sin(x)} &= \frac{\cos(\pi-\delta)}{\sin(\pi-\delta)} \\ &= \frac{\cos(\pi)\cos(\delta) + \sin(\pi)\sin(\delta)}{\sin(\pi)\cos(\delta) - \sin(\delta)\cos(\pi)} \\ &= -\frac{\cos(\delta)}{\sin(\delta)} \end{align*}$

Hvorfor at

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\pi^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)} &= -\lim_{\delta\rightarrow0}\frac{\cos(\delta)}{\sin(\delta)} \\ &= -\cos(0)\lim_{\delta\rightarrow0}\frac{1}{\sin(\delta)} \\ &= -\lim_{\delta\rightarrow0}\frac{1}{\sin(\delta)} \\ &= -\infty \end{align*}$ .

Altså har vi at

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\pi^-}\bigg(\frac{2}{x} - 2\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\bigg) &= 2\lim_{x\rightarrow\pi^-}\frac{1}{x} - 2\lim_{x\rightarrow\pi^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)} \\ &= \frac{2}{\pi}-(-\infty) \\ &= +\infty \end{align*}$

Bemærk, dette er stadigt intet stringent bevis for påstanden.

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. september 2018 af mathon

Svar #7
21. september 2018 af sajana

yes hvordan får man så plus uendelig udfra det du har gjort mathon?

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. september 2018 af mathon

$\small \# \textup{5 er korrekt!}$

Svar #9
21. september 2018 af sajana

er det så forkert at gøre det med L hosputalsreglen?? og bruges den så kun fra høre side?

Brugbart svar (0)

Svar #10
21. september 2018 af swpply (Slettet)

#9
er det så forkert at gøre det med L hosputalsreglen??

Ja... Eller rettere l'Hospitals regel er ugyldig i denne sammenhæng. Og hvis du stadig ville prøve at bruge l'Hospitals regel ville du ikke lykkes.

Se gul indledende text i #5

Svar #11
21. september 2018 af sajana

ok super.mange taak. En der eventuelt kan hjælpe med spørgsål #4

Svar #12
21. september 2018 af sajana

hvad betyder cot(x)?

Brugbart svar (0)

Svar #13
21. september 2018 af swpply (Slettet)

#12
hvad betyder cot(x)?

$\cot(x)$ er cotangens funktionen og defineret ved den sædvanlige tangens funktion:

$\cot(x) \equiv \frac{1}{\tan(x)}$

Brugbart svar (0)

Svar #14
21. september 2018 af swpply (Slettet)

#11
ok super.mange taak. En der eventuelt kan hjælpe med spørgsål #4

Hvad er spørgsmål 4??

Svar #15
21. september 2018 af sajana

aha nu giver det mening

Svar #16
21. september 2018 af sajana

spørgsmålet lyder:

bevis at ligningen f(x)=0 ikke har nogen læsninger i (0,phi) og at den har præcis en løssning i (phi,2phi)

Brugbart svar (0)

Svar #17
21. september 2018 af swpply (Slettet)

Har du også en forskrift for f(x) ??

Svar #18
21. september 2018 af sajana

ja det er den samme

Svar #19
21. september 2018 af sajana

f(x)=(2/x)-2*cos(x)/sin(x)

Brugbart svar (0)

Svar #20
21. september 2018 af swpply (Slettet)

Hvis at $f^\prime(x) \geq 0$ for alle x i det åbne intervallet (0,π). Hvorfor at du kan slutte at $f(x)$ er voksende på det respektive interval.

Hvis at $f(x)\rightarrow 0$ for x -> 0.

Brug alt dette sammen med forrige opgave til at konkludere at $0<f(x)<\infty$ for samtlige x i det åbne interval (0,π)

Forrige 1 2 Næste

Der er 23 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.