Matematik

Asymptoten

17. oktober 2018 af Jens8999 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Opgaven: https://imgur.com/a/biPvmWy

En som kan give en god forklaring på hvad en asymptoten er?

Jeg skal vel isolere y, men ved ikke lige helt præcist hvad y er lig med udover k.

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Metode 1)
Eftersom at $f(x)$ er løsning til differential ligningen og har den vandrette asymptote $y=2$ . Gælder der at

$(1)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{d}{dx}f(x) = 0$

$(2)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) = -2$

Hvorfor at differentialligningen (i grænsen $x\rightarrow-\infty$ ) giver at

$(3)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 0 = -2+k$

Dermed har du at $k = 2$ .

Metode 2)

$\begin{align*} \frac{d}{dx}y(x) = y(x) +k &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigg(e^{-x}y(x)\bigg) = k\cdot e^{-x} \\ &\quad\Leftrightarrow\quad e^{-x}y(x) = -k\cdot e^{-x} + C \\ &\quad\Leftrightarrow\quad y(x) = C\cdot e^{x} - k \end{align*}$

Husk nu at der gælder at $e^x>0$ for samtlige $x\in\mathbb{R}$ , hvorfor at $y(x)>-k$ for samtlige $x\in\mathbb{R}$ . Eftersom at de kræves at $y=-2$ er assymptote for grafen til løsningen til differentialligningen følger det at $k=2$ . Eller rettere har du at

$\begin{align*} -2 &= \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) \\&= \lim_{x\rightarrow-\infty}\big(C\cdot e^x - k\big) \\ &= \underbrace{\lim_{x\rightarrow-\infty}\big(C\cdot e^x\big)}_{0} - k \\ &=-k \end{align*}$

Skriv et svar til: Asymptoten

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.