Matematik

Talorpolynomier

19. oktober 2018 af sajana - Niveau: Universitet/Videregående

Er der en herinde der kan hjælpe mig med denne opgave. Ved ikke hvordan jeg skal igang

Det oplyses, at alle de afledede af arcsin er voksende på [0 ; 1/2]
Hvilken maksimal afvigelse garanterer TL Korollar 11.2.2 af 6b = 6T3f(1/2) som en tilnærmelse til π.

11.2.2 Korollar Antag at f og dens n+1 første deriverte er kontinuerlige på intervallet [a, x]. La M være et tall slik at |f(n+1)(t)|≤ M for alle t mellom a og x. Da er

Rnf(x)<= M/(n+1)!*x-a^n+1

Oplysningen fra forrige opgaver:
f(x)= arcsin(x)
T3f(x) = x +(1/6) * x3 dvs. i a=0
6b = 6T3f(1/2)= 3.125000

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Brug at

$\frac{d^4}{dx^4}\arcsin(x) = \frac{6x^3+9x}{(1-x^2)^\frac{7}{2}}$

hvorfor at (idet samtlige afledte af arcsin(x) er voksende på [0,1/2])

$\bigg\vert\frac{d^4}{dx^4}\arcsin(x)\bigg\vert \leq \bigg\vert\frac{6\cdot2^{-3}+\frac{9}{2}}{(1-2^{-2})^\frac{7}{2}}\bigg\vert = 6\cdot\bigg(\frac{4}{3}\bigg)^\frac{7}{2}$

for alle $0\leq x\leq 1/2.$ Dermed har du at (TL Korollar 11.2.2)

$\begin{align*} R_3[\arcsin](x) \leq \bigg(\frac{4}{3}\bigg)^\frac{7}{2}\cdot x^4 \end{align*}$

og dermed har du at

$\begin{align*} R_3[\arcsin]\bigg(\frac{1}{2}\bigg) \leq \frac{8}{27\cdot\sqrt{3}} \end{align*}$ .

Hvorfor at

$\begin{align*} \pi = \frac{25}{8} \pm \frac{16}{27}\cdot\sqrt{3} \end{align*}$ .

Svar #2
19. oktober 2018 af sajana

hvordan kommer du fra

Vedhæftet fil:Udklip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Brug at

$\begin{align*} \pi &= 6\cdot\arcsin\bigg(\frac{1}{2}\bigg) \\ &=T_3[\arcsin] \bigg(\frac{1}{2}\bigg) \pm 6\cdot\frac{8}{27\cdot\sqrt{3}} \end{align*}$

Svar #5
19. oktober 2018 af sajana

men hvordan beregner jeg så den maksimale afvigelse

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Den maksimale afvigelse som $T_3[\arcsin](x)$ laver til $\pi$ er givet ved $6\cdot \vert R_3[\arcsin](x)\vert$ som er $\frac{16}{27}\sqrt{3}$ .

Svar #7
19. oktober 2018 af sajana

hvorfor er det +-?

Svar #8
19. oktober 2018 af sajana

og hvordan kommer du fremt til 6*(4/3)^7/2

jeg får

Man differentiere arcsin(x) 4 gange, og derefter beregner (arcsin(1/2))'''' = 14.370. Da er M=>14.370.

også kan man sige

14,370/4!*x^4

Brugbart svar (1)

Svar #9
19. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#8
også kan man sige
14,370/4!*x^4

Ja, det er vist rigtig. Det er mig der har lavet et par numeriske regnefejl hist og her ;-)

Svar #10
19. oktober 2018 af sajana

ok super. Mange tak. Men så skal jeg bare gøre det på samme måde?

Svar #11
19. oktober 2018 af sajana

eller hvordan kan jeg så gå videre for sidder fast derfra

Brugbart svar (1)

Svar #12
19. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Svar #1 korrigeret for regnefejl ;-)
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Brug at

$\frac{d^4}{dx^4}\arcsin(x) = \frac{6x^3 + 9x}{(1-x^2)^\frac{7}{2}}$

hvorfor at (idet samtlige afledede af arcsin(x) er voksende på [0,1/2])

$\begin{align*} \bigg\vert\frac{d^4}{dx^4}\arcsin(x)\bigg\vert &\leq \Bigg\vert\frac{6x^3 + 9x}{(1-x^2)^\frac{7}{2}}\Bigg\vert \\ &= \frac{224}{27}\cdot\sqrt{3} \end{align*}$

for alle 0 ≤ x ≤ 1/2. Dermed har du at (TL Korollar 11.2.2, husk absolut værdi)

$\begin{align*} \big\vert R_3[\arcsin](x)\vert &\leq \frac{1}{4!}\cdot\frac{224}{27}\cdot\sqrt{3}\cdot x^4 \\ &= \frac{28}{81}\cdot\sqrt{3}\cdot x^4 \end{align*}$

for alle 0 ≤ x ≤ 1/2. Specielt gælder der at

$\begin{align*} 6\cdot\bigg\vert R_3[\arcsin]\bigg(\frac{1}{2}\bigg)\bigg\vert &\leq 6\cdot\frac{28}{81}\cdot\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2^4} \\ &= \frac{7}{54}\cdot\sqrt{3} \end{align*}$ .

Altså garanterer TL Korollar 11.2.2 at

$\frac{7}{54}\cdot\sqrt{3}.$

er den maksimale afvigelse som

$6\cdot T_3[\arcsin]\bigg(\frac{1}{2}\bigg) = \frac{25}{8}$

laver som approksimation til $\pi$ .

Svar #13
20. oktober 2018 af sajana

jeg skal også gøre det med T100 men ender med at få et rigtig stort tal når jeg differentiere 101 gange. Får f^(101)(1/2) så får jeg 3.34*10^187

Brugbart svar (1)

Svar #14
20. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Jeg vil gerne hjælpe dig. Men prøv at giv en mere detaljeret gengivelse af dine beregninger, for så kan jeg prøve om jeg kan se hvor du foretager dig en fejl :-)

Svar #15
20. oktober 2018 af sajana

ved ikke hvvordan jeg skal komme videre herfra. For jeg får et rimeligt stort tal

Vedhæftet fil:kkk.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #16
20. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (1)

Svar #17
20. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Jeg er på ingen måde nogen Maple superbruger (jeg har kun anvendt Maple kort i et kursus på første år). Men jeg tænker at problemet er at du ikke bruger den korrekte syntaks. Prøv istedet at skriv

$\mathsf{dasin := diff\big(\,arcsin(x),\,x\$100}\,\big)$