Matematik

hjææælp

21. oktober 2018 af sajana - Niveau: Universitet/Videregående

nogen der kan hjælpe med denne her opgave

Vedhæftet fil: hjææælp.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #1
22. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Hvad præcist er det ved opgaven du er i tvivl omkring?

Jeg kan se at du har lavet en tideligere tråd på samme opgave (link).

Svar #2
22. oktober 2018 af sajana

Hvordan kan man argumentere for at den har en største og mindste værdi

Svar #3
22. oktober 2018 af sajana

Og hvordan kan man udfra den graf jeg har lagt op i tråden se hvad den mindste,største værdi og maksimapunket er?

Brugbart svar (1)

Svar #4
22. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (1)

Svar #5
22. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Jeg formoder at denne opgave er stillet i kurset MatIntro (ret mig hvis dette er forkret), hvorfor at du endnu ikke har lært om normerede rum og kompaktheds begrebet for mængder –– er det korrekt?

Lad $D$ være domænet

$D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\leq x\leq2\ \,\wedge\ \,x-2\leq y\leq x\}$

og betragt funktionen $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ givet ved $(x,y)\mapsto3x+2y^2$ . Da har $f$ lokalt minimum (eller maksimum) i $(x,y)=\mathbf{a}$ såfremt at;

  (1)    $\mathbf{a}\in\partial D$ ,
   (2)    $\nabla f$ eksitere ikke i $\mathbf{a}$ eller
   (3)    $\nabla f(\mathbf{a}) = \mathbf{0}$ .

Gradienten til funktionen $f$ er givet ved

$\nabla f(x,y) = \begin{pmatrix}3 \\ 4y\end{pmatrix},$

hvorfor at $\nabla f$ eksitere for overalt på $D$ (vi skal derfor ikke bekymre os betingelse (2) ovenfor). Hvad mere er, der eksitere ikke et eneste punkt $\mathbf{a}\in D$ for hvilken at $\nabla f(\mathbf{a})=\mathbf{0}$ eftersom $3\neq0$ . Dermed skal vi heler ikke bekymre os punkt (3) ovenfor. Vi har hermed delkonklusionen at funktionen $f$ antager sin størsteværdi og mindsteværdi på randen $\partial D$ af dets domæne.

Vi skal altså blot finde det punkt på $\partial D$ for hvilken $f$ antager sin mindsteværdi og det punkt på $\partial D$ for hvilken $f$ antager sin største værdi.

Ved undersøgelse af $f$ på randen $\partial D$ finder Vi at $f$ har globalt minimum i punktet $(x,y) = (0,0)$ samt globalt maksimum i punktet $(x,y) = (2,2)$ .

Svar #6
24. oktober 2018 af sajana

hvordan ved du at den har et globalt minimun i punktet (0,0) ogglobalt maksimum i (2,2)?

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Fordi at

$\forall (x,y)\in D: 0=f(0,0)\leq f(x,y)\leq f(2,2) = 14$ .

Det er ikke meget anderledes end at vise at funktionen $g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ givet ved $x\mapsto x^2$ har globalt minimum i $x = 0$ og globalt maksimum i $x = 1$ .

Brugbart svar (0)

Svar #8
25. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Bemærk at

$\begin{align*} \partial D = &\underbrace{\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x= 0\ \wedge\ -2\leq y\leq0\}}_{M_1}\ \cup\ \underbrace{\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\leq x\leq2\ \wedge\ y = x-2\}}_{M_2}\ \cup \\ &\underbrace{\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x= 2\ \wedge\ 0\leq y\leq2\}}_{M_3}\ \cup\ \underbrace{\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\leq x\leq2\ \wedge\ y=x\}}_{M_4} \end{align*}$

samt at

$\begin{align*} &\forall x\in M_1 : f(x,y) = f_1(y) = 2y^2 \\ &\forall x\in M_2 : f(x,y) = f_2(x) =2x^2-5x+8 \\ &\forall x\in M_3 : f(x,y) = f_3(y) = 2y^2+6 \\ &\forall x\in M_4 : f(x,y) = f_4(x) = 2x^2 + 3x \end{align*}$

Observer nu at $f_1:[-2,0]\rightarrow\mathbb{R}$ har globalt minumum hhv. maksimum i $(x,y,f_1(x)) = (0,0,0)$ hhv. $(x,y,f_1(y)) = (0,-2,8)$ , $f_2:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}$ har globalt minumum hhv. maksimum i $(x,y,f_2(x)) = (\tfrac{5}{4},-\tfrac{3}{4},\tfrac{39}{8})$ hhv. $(x,y,f_2(x)) = (0,-2,8)$ , $f_3:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}$ har globalt minumum hhv. maksimum i $(x,y,f_3(y)) = (2,0,6)$ hhv. $(x,y,f_3(y)) = (2,2,14)$ og $f_4:[0,2]\rightarrow\mathbb{R}$ har globalt minumum hhv. maksimum i $(x,y,f_f(x)) = (0,0,0)$ hhv. $(x,y,f_f(x)) = (2,2,14)$ . Hvorfor at du kan slutte at $f: D\rightarrow\mathbb{R}$ har globalt minimum i punktet $(x,y) = (0,0)$ og globalt maksimum i punktet $(x,y) = (2,2)$ .

Svar #9
25. oktober 2018 af sajana

er den største værdi så ikke 14 og den mindste 0?

Svar #10
25. oktober 2018 af sajana

men jeg har tænkt på om man ikke kan bruge eksramalværdisætningen?

Brugbart svar (1)

Svar #11
25. oktober 2018 af swpply (Slettet)

#9
er den største værdi så ikke 14 og den mindste 0?

Det er korrekt. Husk også at opgavebesvarelsen efterspørger punkterne for global maksimum og minimum ;-)

#10
men jeg har tænkt på om man ikke kan bruge eksramalværdisætningen?

Vi bruger ekstremalværdisætningen til at undersøge funktionen $f(x,y)$ på randen $\partial D$ . Mere præcisit, vi bruger ekstremalværdisætningen til at undersøge global maks. hhv. min. for funktionerne $f_1,f_2,f_3$ og $f_4$ i svar #8.

Svar #12
25. oktober 2018 af sajana

Men når man skal argumentere for det er det så ikke ved at sige om den er lukket og begrænset? Hvilket at man kan se på funktionen at den er.men hvordan kan man argumentere for det?

Brugbart svar (1)

Svar #13
25. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Både $f_1,f_2,f_3$ og $f_4$ er polynomier (og dermed kontinuerte) defineret på afsluttede of begrænsede intervaller. Hvorfor at ekstremalværdisætningen garantere eksistensen af både maksimum og minimum for hver af de fire funktioner.

Du bestemer maksimum hhv. minimum ved at bruge samme theorem som vi bruge indledningsvist i #1. Du skal altså undersøge de punkter for hvilken (1) $f_i^\prime(x) = 0$ (2) randpunkter og (3) steder hvor $f_i^\prime(x)$ ikke eksitere.

Svar #14
26. oktober 2018 af sajana

ok nu giver det mening. Mange taaak for hjælpen

Skriv et svar til: hjææælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.