Matematik

Hjælp til partiel differentiation

22. oktober 2018 af erns - Niveau: Universitet/Videregående

Hey

Jeg har brug for hjælp til partiel differentation i de opgaver som er vedhæftede

Vedhæftet fil: Partiel diff.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Opgave 1:
Lad

$f(x,y) = (x+y)e^{x-y^2}$

hvorfor at

$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}f(x,y) &= \frac{\partial}{\partial x}(x+y)e^{x-y^2} \\ &= (x+y)\frac{\partial}{\partial x}e^{x-y^2} + e^{x-y^2}\frac{\partial}{\partial x}(x+y) \\ &= (x+y)e^{x-y^2} + e^{x-y^2} \\ &= (x+y+1)e^{x-y^2} \end{align*}$

–– Prøv om du selv kan finde den partial aflede mht. y.

Opgave 2:
Lad

$\begin{align*} f(x,y) &= \frac{x\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}} \end{align*}$

hvorfor at

$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}f(x,y) &= \frac{\partial}{\partial x}\frac{x\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}} \\ &= \frac{\sqrt{1+x^2}\frac{\partial}{\partial x}x\ln(y) - x\ln(y)\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}^2} \\ &= \frac{\sqrt{1+x^2}\ln(y) - x\ln(y)\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2}^2} \\ &= \bigg(1 - \frac{x^2}{1+x^2}\bigg)\frac{\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}} \\ &= \frac{\ln(y)}{(1+x^2)^\frac{3}{2}}\end{align*}$

–– Prøv om du selv kan finde den partial aflede mht. y

Svar #3
23. oktober 2018 af erns

Jeg har lige spørgsmål til hvordan du løser de to opgaver.

Opgave 1:

Jeg forstår godt første trin, hvor du gør brug af produktreglen. Andet trin er jo bare resultatet af produktreglen. Men je forstår ikke, hvad du gør i sidste trin "1"-tallet fra?

Opgave 2:

Jeg forstår at du bruger de almindelig differentationsregler i første trin. Det andet trin er resultatet differentationsreglerne. Jeg forstår ikke hvad der sker her i tredje trin og sidste trin. Hvordan får du det der står i parentes i tredje trin?

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. oktober 2018 af swpply (Slettet)

God formiddag erns,

Jeg har læst dine komentar i #3. Fra dem kan jeg forstå at du ikke har problmer med at anvende regnereglerne fra differentialregningen. Hvad der derimod forvolder dig vanskligheder i begge af mine besvarelser er brugen af algebra. Jeg vil nedenfor gennega de algebraisk step jeg har gjort i #2, men jeg vil dog på det kraftigste anbefalde dig at du regner så mange algebra opgaver som muligt (det kunne f.eks. være opgaver hvor du skal reducer et algebraisk udtryk) sådan at du hurtigst muligt har styr på sådan manipulationer/regninger.

Opgave 1 (fortsat):
Jeg kan forstå at du er med så langt, til at

$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) = (x+y)e^{x-y^2} + e^{x-y^2}$ .

Observer nu at $e^{x-y^2}$ er en fællesfaktor for begge led, hvorfor at $e^{x-y^2}$ kan sættes udenfor en parantes. Du har altså at

$\begin{align*} (x+y)e^{x-y^2} + e^{x-y^2} &= \big((x+y)+1\big) e^{x-y^2} \\ &= (x+y+1) e^{x-y^2} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Opgave 2 (fortsat):
Jeg kan forstå at du er med på at

$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}f(x,y) = \frac{\sqrt{1+x^2}\ln(y)-x\ln(y)\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2}^2} \end{align*}$

Skriv nu dette som summen af to led

$\begin{align*} \frac{\sqrt{1+x^2}\ln(y)-x\ln(y)\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2}^2} = \frac{\sqrt{1+x^2}\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}^2} - \frac{x\ln(y)\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2}^2} \end{align*}$

Forkort nu tæller og nævner i første led med $\sqrt{1+x^2}$ og omskriv andet led. Hvorfor at

$\begin{align*} \frac{\sqrt{1+x^2}\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}^2} - \frac{x\ln(y)\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+x^2}^2} = \frac{\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}} \frac{x^2}{1+x^2} \end{align*}$

Sæt fælles faktor udenfor parantes

$\begin{align*} \frac{\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}} \frac{x^2}{1+x^2} = \frac{\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}}\bigg(1 - \frac{x^2}{1+x^2}\bigg) \end{align*}$

og observer nu at

$\begin{align*} 1- \frac{x^2}{1+x^2} &= \frac{1+x^2}{1+x^2} - \frac{x^2}{1+x^2} \\ &= \frac{1+x^2 - x^2}{1+x^2} \\ &= \frac{1}{1+x^2} \end{align*}$

Altså har vi at

$\begin{align*} \frac{\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}}\bigg(1 - \frac{x^2}{1+x^2}\bigg) = \frac{\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}}\frac{1}{1+x^2} \end{align*}$

og dermed at

$\begin{align*} \frac{\ln(y)}{\sqrt{1+x^2}}\frac{1}{1+x^2} = \frac{\ln(y)}{(1+x^2)^\frac{3}{2}} \end{align*}$

Hvilket er resultatet fundet i svar #2.

Svar #6
25. oktober 2018 af erns

Hej igen

Jeg siger tak fordi du gad at uddybe dit svar.

Jeg har regnet lidt på det igen og jeg vedhæfter mine beregninger

Vedhæftet fil:Partiel differentation.png

Svar #7
25. oktober 2018 af erns

I henhold til opgave 2 har jeg dog ikke brugt differentationsregnereglerne. Min ven sagde at jeg kunne nøjes med at går på følgende måde, men jeg forstår ikke hvorfor jeg ikke skal bruge regnereglerene?

Brugbart svar (0)

Svar #8
25. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Du bruger da ellers et par forskellige regneregler fra differentialregningen i din besvarelse i #6.

Dinne besvarelser og mellemregninger er iøvrigt korrekte ;-)

Svar #9
25. oktober 2018 af erns

Nu tænker jeg på differentationsregnereglen med divison, den har jeg da ikke brugt... eller overser jeg noget?

Svar #10
25. oktober 2018 af erns

jeg tror jeg har fået forvekslet et eller andet

jeg bruger da regnereglen: (cf)'(a)=c*f(a)

Brugbart svar (0)

Svar #11
25. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Ja, og produktreglen og sumreglen og reglen for differentiation af sammensat funktion og ... og at (ln y)' = 1/y.

Skriv et svar til: Hjælp til partiel differentiation

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.