Matematik

Skitsér grafen for f, og bestem minimum for f

25. oktober 2018 af Imhotep (Slettet) - Niveau: A-niveau

Kære forum.

Jeg skal løser et par opgaver. Den lyder ordret:

En trigonometrisk funktion f er givet ved forskriften

$f(x)=3\cdot sin(2x)+7, 0\leq x\leq 2\pi$

a) Skitsér grafen for f, og bestem minimum for f

b) Løs ligningen for $f(x)=8,5$

Grafen for f og linjen med ligningen $x=5$ afgrænser sammen med koordinatakserne en punktmængde M, der har et areal.

c) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 $°$ grader om koordinatsystemets førsteakse.

Tak på forhånd!

-Imhotep

Brugbart svar (1)

Svar #1
25. oktober 2018 af mathon

a)
$\small f_{min}=3\cdot (-1)+7=4$

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. oktober 2018 af AMelev

a) Benyt dit CAS-værktøj til at tegne grafen - husk at sætte til Rad.
Minimum:
Metode 1: Da definitionsmængden er begrænset, kan du også bruge værktøjet til at bestemme minimum, bare du sørger for at have hele grafen med i vinduet.
Metode 2: Find nulpunkter og fortegn for f ' og benyt det til at bestemme monotoniforhold for f.
Metode 3: (#1) sin(...) bevæger sig mellem -1 og 1, så 3sin(...) bevæger sig mellem -3 og 3. Dermed må 3sin(...) + 7 bevæge sig mellem 4 og 10. Altså min(f) = 4.

b) Brug dit CAS-værktøj til at løse ligninggen

c) Rumfanget af omdrejninggslegemet er
$V=\pi\cdot \int_{0}^{5} (f(x))^2dx$

Brugbart svar (1)

Svar #3
25. oktober 2018 af mathon

b)
$\small f(x)=3\cdot \sin(2x)+7=8.5\qquad 0\leq x\leq 2\pi$

$\small \sin(2x)=0.5$

$\small \sin\textup{-funktionen er periodisk}:$

$\small \sin(2\left (x_o+\Delta x \right ))=0.5$

$\small \sin(\left (2x_o+2\Delta x \right ))=0.5$ $\small \textup{med}$ $\small 2\Delta x=p\cdot 2\pi \qquad p\in \mathbb{Z}$

$\small \Delta x=p\cdot \pi$

$\small \textup{for p=0}$
   $\small \sin(2x_o)=0.5$
   $\small 2x_o=\tfrac{\pi }{6}$
   $\small x_o=\tfrac{\pi }{12}$

$\small \textup{l\o sningsmuligheder for x}\leq 2\pi$

$\small x=x_o+p\cdot \pi$

$\small x=\tfrac{\pi }{12}+p\cdot \pi \quad p\in \{0,1\}$
$\small \textup{endvidere g\ae lder:}$

$\small \sin\left ( \pi -2x \right )=\sin(2x)=0.5$

$\small \textup{l\o sningsmuligheder for x}\geq 0$

$\small \pi -2\left (\tfrac{\pi }{12}+p\cdot \pi \right ) \geq 0\quad p\in \{0\}$

Opgørelse af løsningsmuligheder:

$\small x=\left \{\begin{array}{ll} \frac{\pi }{12}\\ \\\frac{11\pi }{12} \\\\ \frac{13\pi }{12} \end{array} \right.$

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. oktober 2018 af mathon

korrektion:

endvidere gælder:

$\small \begin{array}{rcl} \pi -2x&=&\frac{\pi }{6}+p\cdot \pi \\\\ x&=&\frac{5\pi }{12}+p\cdot \frac{\pi }{2}\qquad 0\leq x\leq 2\pi \\\\ x&=&\frac{5\pi }{12}+p\cdot \frac{\pi }{2}\qquad p\in\{0,1,2,3\} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. oktober 2018 af mathon

som igen skal korrigeres:

endvidere gælder:

$\small \small \begin{array}{rcl} \pi -2x+p\cdot 2\pi &=&\frac{\pi }{6} \\\\ 2x&=&\frac{5\pi }{6}+p\cdot \pi \qquad 0\leq x\leq 2\pi \\\\ x&=&\frac{5\pi }{12}+p\cdot \pi \qquad p\in\{0,1\} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
26. oktober 2018 af mathon

samlet:

$\small \small \begin{array}{rcl} x=\left \{\begin{array}{ll} \frac{\pi }{12}\\\\ \frac{5\pi }{12}\\\\ \frac{13\pi }{12}\\\\ \frac{17\pi }{12} \end{array}\right. \end{array}$

Skriv et svar til: Skitsér grafen for f, og bestem minimum for f

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.