Matematik

Hjælp til planintegraler

04. november 2018 af erns - Niveau: Universitet/Videregående

Lige umiddelbart har jeg kun brug for hjælp til den første opgave, altså den, hvor der skal skitseres en mængde.

Opgaven og sætningerne fra bogen er vedhæftet som billeder:

Vedhæftet fil: Sætninger fra bogen.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. november 2018 af swpply (Slettet)

Jeg formoder at du selv kan klare det med at lave en skitse af mængden $D$ . Vi skal derfor fortsætte til planintegralet

$\begin{align*} \int_D \big(1+\cos(x+y)\big)\,dA &= \int_0^\pi\int_{\frac{\pi}{2}-y}^\frac{\pi}{2}(1+\cos(x+y)\big)\,dx\,dy \\ &= \int_0^\pi\big[x+\sin(x+y)\big]_{\frac{\pi}{2}-y}^\frac{\pi}{2}\,dy \\ &= \int_0^\pi\bigg[\cancel{\frac{\pi}{2}}+\sin\bigg(\frac{\pi}{2}+y\bigg) - \cancel{\frac{\pi}{2}} + y-\sin\bigg(\frac{\pi}{2} - \cancel{y} + \cancel{y}\bigg)\bigg]\,dy \\ &= \int_0^\pi\bigg(\sin\bigg(\frac{\pi}{2}+y\bigg) + y-1\bigg)\,dy \\ &= \bigg[-\cos\bigg(\frac{\pi}{2}+y\bigg) + \frac{y^2}{2}-y\bigg]_0^\pi \\ &= -\cos\bigg(\frac{3\pi}{2}\bigg) + \frac{\pi^2}{2}-\pi + \cos\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg) \\ &= \frac{\pi(\pi-2)}{2} \end{align*}$

For at skrive $D$ på lærebogens form (5.1) bruger vi at

$\frac{\pi}{2}-y\leq x\quad\Leftrightarrow\quad \frac{\pi}{2}-x\leq y,$

hvorfor at

$D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid -\tfrac{\pi}{2}\leq x\leq\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{\pi}{2}-x\leq y \leq \pi\}$ .

Lav nu udregninger tilsvarende til ovenfor til at evaluere planintegralet

Svar #2
04. november 2018 af erns

Hey swpply

Det er flinkt af dig at lave de andre opgaver, men jeg skrev også til at starte med at det er den med skitsen jeg har brug for hjælp til. Jeg har prøvet at lave sktisen, men i mit hoved giver det ikke nogen mening, hvorfor jeg er blevet usikker og gerne vil have en forklaring på, hvordan opgaven, den med skitsen, laves.

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. november 2018 af swpply (Slettet)

#2 Det må du oprigtigt undskylde, det var mig der var alt for hurtigt på aftrækkeren og ikke fik læst dit opslag grundigt nok.

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. november 2018 af peter lind

afsæt linien π/2-y = x indenfor de tilladte grænser. Det bliver en ret linje. Det bliver arealet til højre for x

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. november 2018 af swpply (Slettet)

$\quad$

Vedhæftet fil:swpply.png

Skriv et svar til: Hjælp til planintegraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.