Linearitetsbetingelser

Vis en hel opgave. Spørger du om at finde en funktion f sådan at ker f = U? Hvad betyder P(x), P2(x), u og u(4)?

Det er opgave 2c jeg sidder med. Jeg har som sagt fundet den lineære afbildning til f: u -> u(4) men ved ikke hvordan jeg skal argumentere for det.

Du har stadig ikke forklaret hvad u og u(4) er ... og du har ikke skrevet hvordan din funktion f ser ud. Uanset hvordan din funktion f ser ud, skal du tjekke, om f er lineær, og om ker f = U. Du skal huske på, at U er bare mængden af alle polynomer af højst 2. grad med 4 som rod. For eksempel (x - 4)² tilhører U.

men hvordan tjekker jeg om f er lineær og ker f =U?

Er f lineær?

For f : P₂(R) → R givet ved f(p) = p(4) kan du tage to polynomier p, q i P₂(R) og a i R og kigge på om linearitetsbetingelserne er opfyldt - dvs. gælder der at

f(p + q) = f(p) + f(q),     hvor p + q er punktvis addition i vektorrummet af polynomier

f(a * p) = a f(p), 

(eller alternativt bare om f(a * p + q) = a f(p) + f(q) er opfyldt)

Ker f = U?

Det gælder jo næsten per konstruktion af f at ker f = U, men hvis man insisterer på at ville gøre mere ud af det, så kan du gøre som følger:

Tag p i ker f og vis at det ligger i U

Hvis p ligger i ker f så er p(4) = f(p) = 0 dvs. p ∈ U da p(4) = 0

Tag p i U og vis at det ligger i U

Gør noget tilsvarende her.