Matematik

Optimering

11. november 2018 af sea789 - Niveau: B-niveau

Hej allesammen

Jeg har virkelig svært ved denne opgave, og ved ikke, hvordan jeg skal komme videre:
En faskine består af en ydre lukket kasse samt et porøst indre. Faskinens bredde benævnes b (målt i m), højden benævnes h (målt i m) og længden er 10 m.
Faskinens ydre areal er givet ved O=2*b*h+20*b+20*h
Volumen betegnes V (målt i m³). Det oplyses, at V er givet ved:
V= 20*b*h/3
Faskinen kan rumme 100 m³ vand.
b) Bestem h udtrykt ved b, og bestem den værdi af b, der gør faskinens ydre areal mindt mulig.

Er der nogen, der kan hjælpe mig, og komme med en vejledende besvarelse? for har som sagt meget svært ved opgaven.

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. november 2018 af AMelev

Alle længdemål er i m

V = 100. Indsæt udtrykket for V på venstre side og løs ligningen mht. h.
Indsæt det fundne udtryk for b i O.
Betragt O som en funktion O(b) - du kan evt. omdøbe b til x, hvis du føler dig mere fortrolig med det.
Bestem nulpunkt(er) for den afledede funktion O'(b) el. O'(x).
Benyt det samt monotonilinje eller graf til at fastlægge minimumspunktet.

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. november 2018 af mathon

V= 20*b*h/3
Faskinen kan rumme 100 m³ vand.

heraf
$\small \begin{array}{lrclllrcl} \textup{volumen:}&\frac{1}{3}\cdot 20\cdot b\cdot h&=&100\\ &bh&=&15\\ &h&=&\frac{15}{b}&\textup{som indsat i }&O&=&2bh+20b+20h\\ \textup{giver:}&O(h)&=&30+20b+\frac{300}{b}\\ \end{array}$

Mindst mulig overflade
kræver bl.a.

$\small \small \begin{array}{lrclllrcl} \small &O{\,}'(h)&=&0\\\\&20-\frac{300}{b^2}&=&&0&b>0\\ \\ &1-\frac{15}{b^2}&=&0\\\\ &1&=&\frac{15}{b^2}\\\\ &b^2&=&15&&b>0\\\\ &b&=&\sqrt{15} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. november 2018 af mathon

og
$\textup{fortegnsvariation}$
      $\textup{for }O{\,}'(b)\textup{:}$ $-$    $0$     $+$
   $\textup{b:}$ $0$ _________ $\sqrt{15}$ _________ ...
      $\textup{ekstrema:}$    $\textup{glo. min}$
      $\textup{monotoni}$
      $\textup{for }O(b)\textup{:}$    $\searrow$    $\nearrow$

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. november 2018 af mathon

korrektion:
$\small \begin{array}{rcl} O{\, }'(b)\textup{ og }O(b)&\textup{rettes til}&O{\, }'(h)\textup{ og }O(h) \end{array}$

Skriv et svar til: Optimering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.