Matematik

Uegentlige integraler

17. november kl. 18:37 af mimi99 - Niveau: Universitet/Videregående

Er dette korrekt:

\int_{a}^{\infty}e^{^-at}dt

Vi antager, at b>0, 

så er 

\int_{a}^{b}e^{^-at}dt=\left [ e^{-at}*t \right ]^b_a = e^{-ab}*b-(e^{-a*a}*a)=e^{-ab}*b-e^{-a^2}*a

idet

e^{-ab}*b-e^{-a^2}*a\rightarrow a  for  b \rightarrow \infty

vil 

\int_{a}^{b} e^{-at} dt\rightarrow 1 for b\rightarrow \infty

altså grænseværdien er 

\int_{a}^{\infty }e^{-at}dt

altså det uegentlige integral eksisterer, da grænseværdien eksisterer 

altså vil 

\int_{a}^{b} e^{-at} dt\rightarrow \int_{a}^{\infty } e^{-at} dt for b\rightarrow \infty

og 

\int_{a}^{\infty }e^{-at}dt=1

Tak på forhånd !


Svar #1
17. november kl. 18:53 af mimi99

Rettelse:

\int_{a}^{\infty}e^{^-at}dt

Vi antager, at b>0, 

så er 

\int_{a}^{b}e^{^-at}dt=\left [ \frac{-e^{-at}}{a} \right ]^b_a =\frac{-e^{-a*b}}{a}-(\frac{-e^{-a*a}}{a})=\frac{-e^{(a^2)}+e^{ab}}{ae^{a^2+ab}}

idet

\frac{-e^{(a^2)}+e^{ab}}{ae^{a^2+ab}}\rightarrow 1 for b \rightarrow \infty

vil 

\int_{a}^{b} e^{-at} dt\rightarrow 1 for b\rightarrow \infty

altså grænseværdien er 

\int_{a}^{\infty }e^{-at}dt

altså det uegentlige integral eksisterer, da grænseværdien eksisterer 

altså vil 

\int_{a}^{b} e^{-at} dt\rightarrow \int_{a}^{\infty } e^{-at} dt for b\rightarrow \infty

og 

\int_{a}^{\infty }e^{-at}dt=1

Tak på forhånd !


Brugbart svar (0)

Svar #2
17. november kl. 18:56 af peter lind

Den har du jo allerede kørende i en anden tråd. Nej det er helt forkert


Brugbart svar (0)

Svar #3
17. november kl. 21:05 af AskTheAfghan

Hvis a > 0, konvergerer det uegentlige integral med exp(-a2)/a. Hvis a ≤ 0, divergerer det.


Svar #4
18. november kl. 12:04 af mimi99

Kan i evt. komme med en ledetråd så jeg kan løse opgaven ? Forstår ikke hvordan jeg skal gribe det an


Brugbart svar (0)

Svar #5
20. november kl. 19:54 af AskTheAfghan

#4 Du har

\int_{a}^{X}e^{-at}\,\mathrm{d}t=-\frac{1}{a}\int_{-a^2}^{-aX}e^{t}\,\mathrm{d}t=-\frac{1}{a}\left [ e^{-aX}-e^{-a^2} \right ]=\frac{e^{-a^2}}{a}- \frac{e^{-aX}}{a}

for alle reelle tal X ≥ a. Sæt f(X) = e-aX. Undersøg limX→∞f(X) i hvert af tilfældene a > 0 og a < 0.


Skriv et svar til: Uegentlige integraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.