Matematik

Uegentlige integraler

17. november 2018 af mimi99 - Niveau: Universitet/Videregående

Er dette korrekt:

$\int_{a}^{\infty}e^{^-at}dt$

Vi antager, at b>0,

så er

$\int_{a}^{b}e^{^-at}dt=\left [ e^{-at}*t \right ]^b_a = e^{-ab}*b-(e^{-a*a}*a)=e^{-ab}*b-e^{-a^2}*a$

idet

$e^{-ab}*b-e^{-a^2}*a\rightarrow a$ for $b \rightarrow \infty$

vil

$\int_{a}^{b} e^{-at} dt\rightarrow 1$ for $b\rightarrow \infty$

altså grænseværdien er

$\int_{a}^{\infty }e^{-at}dt$

altså det uegentlige integral eksisterer, da grænseværdien eksisterer

altså vil

$\int_{a}^{b} e^{-at} dt\rightarrow \int_{a}^{\infty } e^{-at} dt$ for $b\rightarrow \infty$

$\int_{a}^{\infty }e^{-at}dt=1$

Tak på forhånd !

Svar #1
17. november 2018 af mimi99

Rettelse:

$\int_{a}^{\infty}e^{^-at}dt$

Vi antager, at b>0,

så er

$\int_{a}^{b}e^{^-at}dt=\left [ \frac{-e^{-at}}{a} \right ]^b_a =\frac{-e^{-a*b}}{a}-(\frac{-e^{-a*a}}{a})=\frac{-e^{(a^2)}+e^{ab}}{ae^{a^2+ab}}$

idet

$\frac{-e^{(a^2)}+e^{ab}}{ae^{a^2+ab}}\rightarrow 1$ for $b \rightarrow \infty$

vil

$\int_{a}^{b} e^{-at} dt\rightarrow 1$ for $b\rightarrow \infty$

altså grænseværdien er

$\int_{a}^{\infty }e^{-at}dt$

altså det uegentlige integral eksisterer, da grænseværdien eksisterer

altså vil

$\int_{a}^{b} e^{-at} dt\rightarrow \int_{a}^{\infty } e^{-at} dt$ for $b\rightarrow \infty$

$\int_{a}^{\infty }e^{-at}dt=1$

Tak på forhånd !

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. november 2018 af peter lind

Den har du jo allerede kørende i en anden tråd. Nej det er helt forkert

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. november 2018 af AskTheAfghan

Hvis a > 0, konvergerer det uegentlige integral med exp(-a²)/a. Hvis a ≤ 0, divergerer det.

Svar #4
18. november 2018 af mimi99

Kan i evt. komme med en ledetråd så jeg kan løse opgaven ? Forstår ikke hvordan jeg skal gribe det an

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. november 2018 af AskTheAfghan

#4 Du har

$\int_{a}^{X}e^{-at}\,\mathrm{d}t=-\frac{1}{a}\int_{-a^2}^{-aX}e^{t}\,\mathrm{d}t=-\frac{1}{a}\left [ e^{-aX}-e^{-a^2} \right ]=\frac{e^{-a^2}}{a}- \frac{e^{-aX}}{a}$

for alle reelle tal X ≥ a. Sæt f(X) = e^-aX. Undersøg lim_X→∞f(X) i hvert af tilfældene a > 0 og a < 0.

Skriv et svar til: Uegentlige integraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.