Fysik

Fjeder og dæmper

19. november 2018 af Yipikaye - Niveau: Universitet/Videregående

Vil en fjeder ikke have 2 forskellige udtryk for egenfrekvensen. Et udtryk uden dæmpning, og et andet udtryk som tager højde for dæmpning.

Udtrykket for egenfrekvensen uden dæmpning skulle gerne se sådan ud

$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$

Men hvordan se udtrykket ud for egenfrekvensen med dæmpning når der bare er tale om en fjeder?

Tilsvarende kunne jeg godt tænke mig at vide hvordan udtrykkene for egenfrekvensen ser ud for en dashpot(dæmper). I det der ligeledes må være 2 udtryk for egenfrekvensen. Nemlig et udtryk uden dæmpning og et andet udtryk som tager højde for dæmpningen.

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. november 2018 af Eksperimentalfysikeren

Dæmperen har ikke selv e egenfrekvens. Det har fjederen heller ikke, hvis den er ideel, hvilket vil sige masseløs. Det er systemet af fjeder, masse og dæmper, der har en egenfrekvens. For et givet system af disse tre er der kun én egenfrekvens. Hvis dæmperen ikke er der, får man den formel, du har angivet i #0.

Jeg viser teknikken for et lod ophængt i en fjeder, der også er i forbindelse med en dæmper. De tre kræfter, der påvirker loddet er tyngdekraften, fjederkraften og dæmpningskraften. I hvile er fjederkraften lig med minus tyngdekraften og dæmpningskraften er 0. x-aksen anbringes, så x=0 for ligevægtstilstanden og x-positiv er opad. For fjederkraften regnes der kun med afvigelsen fra -tyngdekraften. Derudfra kan opstilles ligninge:

ma = -kx + ηv, hvor k er fjederkonstanten og η er dæmpningsfaktoren. v og a er henholdsvis første og anden afledede af x:

$m\frac{d^2 x}{d t^2} = -kx+\eta \frac{dx}{dt}$ ,

hvilket også kan skrives:

$m\frac{d^2 x}{d t^2} -\eta \frac{dx}{dt} +kx= 0$

Denne ligning kan løses ved hjælp af det karakteristiske polynomium:

$m\xi ^{2} -\eta \xi +k= 0$

Det har to rødder:

$\xi = \frac{\eta \pm \sqrt{\eta ^{2}-4mk}}{2m}$

I løsningerne indgår exp(ξ₁t) og exp(ξ₂t).Ved hjælp af Eulers ligning kan man herfra finde udsvinget som funktion af tiden og konstanterne ω og τ, hvor tau er tidskonstanten for dæmpningen.

Bemærk, at for dæmpningen 0 er ξ=±iω.

Svar #2
19. november 2018 af Yipikaye

Hej

Så hvis ellers jeg forstår ovenstående rigtigt, så har vi følgende ligning

$m\xi ^{2}-\eta \xi +k=0$

og denne ligning løser vi med følgende formel

$\xi =\frac{\eta \pm \sqrt{\eta ^{2}-4mk}}{2m}$

Derefter opløfter vi dette udtryk i eulers tal således at vi får følgende to udtryk og gennem noget algebra ender vi med at at have en sinusfunktion og en cosinusfunktion.

$x(t)=e^{\frac{\eta +\sqrt{\eta ^{2}-4mk}}{2m}*t}= x(t)=A*sin(bt+c)+d$

$x(t)=e^{\frac{\eta -\sqrt{\eta ^{2}-4mk}}{2m}*t}= x(t)=A*cos(bt+c)+d$

og b som repræsentere systemets egenfrekvens, er den samme værdi i begge funktioner og findes grafisk ved aflæsning. Er dette alt sammen rigtig forstået?

Skriv et svar til: Fjeder og dæmper

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.