Logik - er dette udsagn sandt/falsk?

udsagnet er ækvivalent med x≠0 ⇒xy=x

.

Hvad? Jeg ville mene at det er falsk

Hvis x=5 og y=-1 så er første del korrekt mens anden del er forkert. Hvis man kigger på sandhedstabellen for "->" så er opbygningen S->F  = FALSK

Højresiden er kun sand, når x=0. Det vil sige, at for at implikationen er opfyldt skal vi se, om der findes et y, derbevirker, at uligheden altid er falsk, dog undtagen når x=0. For y=1 kan y fjernes i uligheden, så der står x≠x, hvilket er falsk.

I #4 finder du et par, der bevirker, at implikationen er falsk, men du glemmer, at der blot skal være en enkelt y-værdi, hvor implikationen er sand for alle x, for at det samlede udtryk er sandt.

y skal vælges således at implikationen er sand når x=1. Dvs. der skal gælde 1·y≠1 => x=0, hvis højreside er falsk, hvorfor venstresiden også skal være falsk, dvs. y=1 er et must hvis det givne udsagn skal være sandt.

Med y=1 er x=2 dog en modstrid, så der eksisterer intet gyldigt y.

Med y=1 er x=2 dog en modstrid, så der eksisterer intet gyldigt y.

Det passer vist ikke. x≠x er altid falsk, så y=1 er gyldig.

Som nævnt i #1, er det måske nemmere at arbejde med det ækvivalente udsagn

     ∃y∈R.∀x∈R. [(x ≠ 0) ⇒ (xy = x)].

#1

Udsagnet virker rodet. Der står først, at udsagnet gælder for alle x og dernæst, at x = 0. Måske alkvantoren burde fjernes?

#9     Nej. Der vides ikke, om udsagnet "gælder", men jeg forstår hvad du mener. Et åbent udsagn bør kvantificeres, ellers bliver det ikke til noget udsagn. Udsagnet kan alternativt læses som: "Der findes et reelt y med den egenskab, at hvis x er et reelt tal, der opfylder xy ≠ x, så er x nul".

#10 "Der findes et reelt y med den egenskab, at hvis x er et reelt tal, der opfylder xy ≠ x, så er x nul".

Nej, for så fjerner du selv alkvantoren! 

#11     Jeg forstår ikke hvad du mener ...

#10 Du skulle have sagt: "...Der findes et reelt tal y, der for alle reelle tal x opfylder, at når xy ≠ x, så er x nul".

I det, som du siger, mangler alkvantoren.

#13 "hvis x er et reelt tal" og "der for alle reelle tal x" er det samme.

#13     Du kan formulere det på mange måder ... Hvis du har tid og lyst, hvordan ville du oversætte det følgende udsagn til en formel med matematiske symboler:

"Hvis x er et vilkårligt positivt reelt tal, så er x større end et positivt tal"?

Jeg repeterer udtrykket for at kunne skrive videre uden at skulle scrolle rundt på siden undervejs:

For x er der 2 muligheder: x=0 og x≠0. I første tilfælde er højresiden af implikationen sand, i andet tilfælde er den falsk. De to tilfælde dækker "alle x".

Venstresiden er falsk, når x = 0, hvilket bevirker, at implikationen er sand, da f⇒s eq s.

Hvis implikationen skal være sand for x≠0, skal dens venstreside fære falsk, da f⇒f eq s.

Hvis venstresiden skal være falsk, skal xy=x samtidig med at x≠0. Det kan kun lade sig gøre, hvis y=1. Hvis y=1, bliver venstresiden reduceret til x≠x, som er falsk, hvilket er, hvad vi ønsker.

Der eksisterer altså et y, nemlig y=1, for hvilket implikationen er sand for alle x.