Matematik

Finde fordelingsfunktionen

05. december 2018 af NetteLind - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa. Jeg skal løse opg. 6, og jeg kan ikke huske hvordan man finde fordelingsfunktionen. Jeg kan godt finde den inverse efterfølgende. På forhånd tak.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-12-05 kl. 11.39.06.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. december 2018 af oppenede

Du skal integrere g(y) mht. y ved at integrere hver stykvis formel.
De additive konstanter skal vælges så G(y) er kontinuert og G(0) = 0.

Svar #2
05. december 2018 af NetteLind

Får jeg så: ingt(y fra 0 til 1)+intg.(1/y^3 fra 1 til uendelig)? Dette giver jo bare et tal.

Eller får jeg en gaffel funktion, når jeg intg. ingt(y fra 0 til 1 og derefter intg.(1/y^3 fra 1 til uendelig)? Dette gver så nogle tal for de forskellige interval, og det må da være fordelingsfunktionen?

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. december 2018 af AMelev

Du skal finde det ubestemte integral (stamfunktion) for delfunktionerne og tilpasse konstanterne, så fordelingsfunktionen bliver kontinuert samt ikke-negativ og har grænseværdien 1 for y → ∞.

Svar #4
05. december 2018 af NetteLind

Okay. Så jeg integrere g(y) uden grænser, og så får jeg to udtryk. Jeg få (y^2)/2 for 0<y<1 og -1/(2*y^2) for 1<y<uendelig. Hvad skal jeg da gøre nu? Skal jeg ændre grænserne for y i begge for at få grænsen til 1?

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. december 2018 af oppenede

Du får (y^2)/2+k for 0<y<1 og -1/(2*y^2)+h

h og k skal vælges så G(y) er kontinuert i y=1, og så G(0) = 0

Svar #6
05. december 2018 af NetteLind

Kan det så passe at k=1/2 og h=1 for y=1, hvis G(y) skal være 1? Jeg er blevet lidt forvirret.

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. december 2018 af AMelev

Nej, hvis k = ½ og h = 1, så har de to delfunktioner ikke samme værdi i y = 1.

Værdimængden for G skal være [0,1] og G skal være voksende, så grænseværdien for y → ∞ skal være 1.
$\lim_{y\rightarrow \infty }G(y)=\lim_{y\rightarrow \infty }G_2(y) =\lim_{y\rightarrow \infty }\frac{-1}{2y^2}+h=h$ , så h = 1

G(0) = 0. Dermed skal k = 0, og så passer det med, at G₁(1) = G₂(1), så G er kontinuert.

Vedhæftet fil:Fordelingsfunktion G(x).JPG

Svar #8
05. december 2018 af NetteLind

Jeg har lidtsvært ved at forstå pointen. Så du finder h=1 så vil G2 gå mod 1 for y gående mod uendelig. Men for K=0 vil G1 gå mod 1/2 for y=1. Så hvordan bliver G1 lig 1? Eller er det for y gående mod uendelig?

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. december 2018 af oppenede

Udtrykket hvor k indgår har slet ikke en grænseværdi når y går mod ∞, da udtykket er betinget af 0<y<1.

Det er kun udtrykket med h som additiv konstant, der har noget at gøre med grænseværdien når y går mod ∞.

k skal vælges så grænseværdien når y går mod 1 er den samme fra højre og venstre.

Svar #10
05. december 2018 af NetteLind

Okay. Så. G(y) = (y^2)/2+0 for 0

Svar #11
05. december 2018 af NetteLind

Okay. Så. G(y) = (y^2)/2+0 for Y mellem 0 og 1 og -1/2*y^2 +1 for y mellem 1 og uendelig?

Brugbart svar (0)

Svar #12
05. december 2018 af AMelev

Ja.

Brugbart svar (0)

Svar #13
05. december 2018 af SådanDa

Man kan også bare finde

$G(y)=\int_0^y g(x)\ \textup{d}x$ altså for 0<y≤1:

$G(y)=\int_0^y x\ \textup{d}x=\frac{y^2}{2}$ . Og for y>1:

$G(y)=\int_0^1 x\ \textup{d}x+\int_1^y x^{-3}\ \textup{d}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y^{-2}+\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2y^{2}}$ . Så du har at:

$G(y)=\left\{\begin{matrix} \frac{y^2}{2} && \text{for } 0<y\leq1\\ 1-\frac{1}{2y^{2}}&& \text{for } y>1\\ \end{matrix}\right.$

Svar #14
05. december 2018 af NetteLind

Tak for hjælpen, men jeg har dog stadig svært ved at forstå, hvorfor grænseværdien for y^2/2 går mod 1/2 for y mellem 0 og 1.

Brugbart svar (0)

Svar #15
05. december 2018 af SådanDa

$\lim_{y\rightarrow1} \frac{y^2}{2}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}$

Svar #16
05. december 2018 af NetteLind

Og den skal med, da vi kigger på G fra 0 til uendelig? Og hvorfor der det for y gående mod 1 vi kigger på? Er det da det er den største værdi for y i intervallet 0 til 1.

Brugbart svar (0)

Svar #17
05. december 2018 af SådanDa

Altså personligt ville jeg gøre som i #13, så slipper man for at kigge på grænseværdier for at få konstanterne til at passe!

Men hvis du regner det ubestemte integral, så vil du gerne sørge for at G er kontinuert, så G₁ og G₂ skal altså have samme grænseværdi gående mod 1, det viser sig at passe med 1/2.

Brugbart svar (0)

Svar #18
05. december 2018 af AMelev

G₁(y) = ½y² er henrivende uinteressant, når y →∞, da den kun gælder for 0 <(=) y < 1.
Når y →∞, er y >>> 1, og så er det G₂(y) = -1/(2y²), der er i spil.
Når G skal være kontinuert, skal G₁(1) = G₂(1), da der ikke må være hul i grafen. G₁(1) = ½, og det skal G₂(1) så også være, og det er den, når G₂(y) = 1-1/(2y²).

Svar #19
05. december 2018 af NetteLind

Ah okay. Så det vi enlig har løst er om G er kort. i y=1. Og det er den for G=1/2. Og vi undersøger y=1; da det er der, hvor G har to forskellige funktioner.

Brugbart svar (0)

Svar #20
05. december 2018 af SådanDa

Jep!

Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.