Matematik

Optimering

11. december 2018 af Nino7 - Niveau: A-niveau

Hvordan bestemmer jeg æskens volume og overfladeareal udtrykt ved x og h


Brugbart svar (0)

Svar #1
11. december 2018 af StoreNord

Trekantens højde er
                                                  \sqrt{x^{2}+(\frac{x}{2}^{2})}


Svar #2
11. december 2018 af Nino7

kan du uddybe det mere


Brugbart svar (0)

Svar #3
11. december 2018 af StoreNord

Det siger Pythagoras.

Og når du kender trekantens højde, kan du beregne dens areal.


Svar #4
11. december 2018 af Nino7

men det er ikke højden opad vel,? men selve grundfladearealet af den ligesidet trekant


Brugbart svar (1)

Svar #5
11. december 2018 af StoreNord

Nej. Ja, denne højde er trekantens højde hT; ikke h.


Brugbart svar (0)

Svar #6
11. december 2018 af StoreNord

I #1 kan du sætte x² udenfor som x.


Brugbart svar (0)

Svar #7
11. december 2018 af StoreNord

Rettelse til #1

Trekantens højde er
                                                  \sqrt{x^{2}{\color{Green} -}\left ( \frac{x^{2}}{2} \right )}


Brugbart svar (1)

Svar #8
12. december 2018 af ringstedLC

a)

\begin{align*} O &= Areal_T+3xh \\ Areal_T &= \tfrac{1}{2}\cdot h\o jde\cdot x \\ x^2 &= h\o jde^2+\left ( \tfrac{x}{2} \right )^2\Rightarrow h\o jde =\sqrt{x^2-\left ( \tfrac{x}{2} \right )^2}\Downarrow \\ h\o jde &= \sqrt{x^2-\tfrac{x^2}{2^2}}=\sqrt{x^2\left ( 1-\tfrac{1}{4} \right )} =x\sqrt{3\cdot \tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2}x\sqrt{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\Downarrow \\ Areal_T &=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}x\cdot x = \tfrac{\sqrt{3}}{4}x^2\Downarrow \\ O &= \;? \\ V &= Areal_T\cdot h=\;? \end{align*}

b)

\begin{align*} V &= 75 = \tfrac{\sqrt{3}}{4}x^2h\;,\;0<x<20\Downarrow \\ h &= \tfrac{4\cdot 75}{\sqrt{3}\cdot x^2} = \tfrac{300\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot x^2} = 100\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{x^2} \end{align*}

Indsæt udtrykket h og ArealT i en funktion O(x). Differentier og beregn minimum.

\begin{align*} O(x) &= \tfrac{\sqrt{3}}{4}x^2+3x\cdot 100\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{x^2} \\ &= \tfrac{\sqrt{3}}{4}x^2+\tfrac{300\sqrt{3}}{x} \\ O'(x) &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}x-\tfrac{300\sqrt{3}}{x^2} \\ O'(x) &= 0 = \tfrac{\sqrt{3}}{2}x-\tfrac{300\sqrt{3}}{x^2}\Rightarrow x=8.43 \end{align*}


Skriv et svar til: Optimering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.