Matematik

Insane integral

14. december 2018 af YesMe - Niveau: Universitet/Videregående

Diffential ligningen er givet ved

$\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} \theta}=\frac{A}{\sin(\theta)\sqrt{\sin^2(\theta)-A^2}}$

hvor A er konstant. Jeg blev bedt om at vise, at den har løsningen til

$\phi=C_1=\arcsin(C_2\cot\theta)$

hvor C₁ og C₂ er konstanter. Hvordan gør jeg det? Jeg går ud fra at bestemme integralet

$\int \frac{A}{\sin(\theta)\sqrt{\sin^2(\theta)-A^2}}\,\mathrm{d} \theta$

Det ser besværligt ud, så jeg beder om en lille hjælp til omskrivningen i integranden. De hints jeg fik er, at (arcsin(x))' = 1/√(1-x²) og (cot(x))' = -1/sin²(x).

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. december 2018 af peter lind

Det er ikke en differentialligning. Du skal bare vise at den afledede funktion er integranten

Svar #2
14. december 2018 af YesMe

#1 Ja, det er den nemme vej. Men den omvendte vej er at bestemme integralet, hvilket gør sagen svær. Jeg synes bare det er underligt at konstanten C₂ er med. Det er måske grunden til at jeg skal bestemme integralet, synes du ikke det?

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. december 2018 af peter lind

Jeg synes du bare skal differentiere funktionen. Der er jo også en konstant A i integranten

Svar #4
14. december 2018 af YesMe

Okay, tak. Hvordan transformerer man funktionen Φ om til de kartetiske koordinater? Fik at vide, at jeg skulle benytte additionsformlen, sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b).

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. december 2018 af peter lind

Det kommer an på hvad Φ er og i hvilker koordinatsysem det er i

Svar #6
14. december 2018 af YesMe

Jeg kunne ikke finde symbolet phi, så ... Φ = arcsin(C₂cotθ). De tidligere delopgaver arbejdede jeg inden for det sfæriske koordinatsystem.

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. december 2018 af Eksperimentalfysikeren

Du har ikke brug for at vide noget om transformation af polære koordinater. Du har et funktionsudtryk, som du kan differentiere og sammenlligne med integranten.

Der er dog et problem. Der står, at pfi er lig med C₁, altså formodentlig en konstant, som igen er lig med funktionsudtrykket. Hvordan hænger det sammen? Det er det første, du skal se på, for det ser forkert ud.

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. december 2018 af peter lind

θ = arccos(z/r)

Svar #9
14. december 2018 af YesMe

Sådan ser opgaven ud, se den vedhæftede fil. Det er de to sidste opgave der drejer sig om.

Vedhæftet fil:C1CC1D0E-C6FB-40AF-8D9D-420E08228B1A.jpeg

Brugbart svar (0)

Svar #10
14. december 2018 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #11
14. december 2018 af peter lind

Det betyder jo at både Φ og θ er konstante. Det ser mærkeligt ud

Brugbart svar (0)

Svar #12
14. december 2018 af Eksperimentalfysikeren

Kan der være tale om, at lighedstegnet efter C₁ skulle have været et gangetegn?

Skriv et svar til: Insane integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.