Matematik

3 ligninger med 4 ubekendte - med matricer

19. december 2018 af HTXistoohardforme - Niveau: A-niveau

Hej. Jeg er ved at udlede Formlen for luftmodstand gennem dimensionsanalyse og matricer.
Jeg har opstillet 3 ligninger, hvori der er 4 ubekendte. Dette har jeg løst i en matrice - jeg er bare ikke sikker på hvad jeg skal sætte ind hvor i de 3 ligninger, for at finde potenserne.

Se link: https://imgur.com/PDss40r

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. december 2018 af Heptan

Man aflæser ... kolonne 1 er alpha osv.

α = 2 - δ

β = 2 - δ

γ = 1 - δ

δ = δ

Svar #2
19. december 2018 af HTXistoohardforme

Yes, men hvordan kommer jeg ned til udtrykket $Drag=\rho*v^2*r^2$

Svar #3
19. december 2018 af HTXistoohardforme

Nogen der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. december 2018 af swpply (Slettet)

Luftmodstanden F_dragpå et legeme afhænger af legemets hastighed $u$ og tversnitsarealet $A$ samt densiteten $\rho$ og viskositeten $\nu$ af den omkringliggende fluidum. Vi har altså 5 variable og 3 uafhængige dimensioner (afstand L, tid T, og masse M), hvorfor (iflg. Buckinghams $\pi$ sætning) at systemet har 2 (= 5-3) uafhængige dimensionsløse parametre;

$\pi_1 = F_\text{drag}^{a_1}u^{a_2}A^{a_3}\rho^{a_4}\nu^{a_5}$

$\pi_2 = F_\text{drag}^{b_1}u^{b_2}A^{b_3}\rho^{b_4}\nu^{b_5}.$

Dimensionerne af vores 5 variable er som følgende:

$F_\text{drag} = MLT^{-2},\quad u = LT^{-1},\quad A = L^2,\quad \rho = ML^{-3},\quad \nu = L^2T^{-1}$

Dimensions matrixen bliver derfor

$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & -3 & 2 \\ -2 & -1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

eller skrevet på reduced row echelon form (RREF)

$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1/2 \end{pmatrix}.$

Kernen for $M$ er to-dimensional og er udspændt af vektorene (kan aflæses direkte af ovenstående RREF):

$a = \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad\text{og}\qquad b = \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ -1/2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$

Vi har derfor at

$\pi_1 = F_\text{drag}^{-1}u^{2}A^{1}\rho^{1}\nu^{0} \qquad\text{og}\qquad \pi_2 = F_\text{drag}^{0}u^{-1}A^{-\frac{1}{2}}\rho^{0}\nu^{1}.$

Det mest generale dimensionsløse udtryk er

$\pi_1 = f(\pi_2)$

hvorfor at

$\frac{u^2A\rho}{F_\text{drag}} = f\bigg(\frac{\nu}{u\sqrt{A}}\bigg)$

og efter vi flytter lidt rundt på højer og venstre side har vi at

$F_\text{drag} = \frac{A\rho u^2}{f\bigg(\frac{\nu}{u\sqrt{A}}\bigg)}$

og navngiver vi nu

$f\bigg(\frac{\nu}{u\sqrt{A}}\bigg) = \frac{2}{C_D},$

hvor $C_D$ er den dimensionsløse drag koefficient (vi har inkludret en faktor af 2, dette er af konventionelle oversager). Altså har vi at Buckinghams $\pi$ sætning giver os at

$F_\text{drag} = \frac{1}{2}C_DA\rho u^2.$

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Bemærk at $\pi_2$ ikke er andet end den reciprokke værdi af Reynolds tallet, dvs.

$\pi_2 = \frac{1}{\text{Re}}.$

Og at $\pi_1$ blot er den to gange den reciprokke værdi af drag koefficient, dvs.

$\pi_1 = \frac{2}{C_D}.$

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. december 2018 af swpply (Slettet)

I forlængelse af ovensående. Du kan altid ændre $A$ til $r^2$ i ovenstående udledning, hvis legemet du betragter har en rotationssymmetri og tværsnitsarealet derfor kan udtrykkes ved $r^2$ .

Skriv et svar til: 3 ligninger med 4 ubekendte - med matricer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.