Matematik

Lineær Algebra - Opgave om basis

02. januar 2019 af Herstall - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har virkelig brug for nogle hints til disse opgaver. Er komplet lost da jeg ikke har så meget styr på basis for et underrum generelt.

Vedhæftet fil: Lineær Algebra - Opgave 1.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
02. januar 2019 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (2)

Svar #2
02. januar 2019 af swpply (Slettet)

Opgave a)
Bemærk at ligningen

$x_1 + x_2 + x_3 = 0$

er ligningen for et plan med parameterfremstillingen

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = s\cdot\begin{pmatrix} -1\\1 \\ 0\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$

Hvofor at

$\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\} = \Bigg\{\begin{pmatrix} -1\\1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\Bigg\}$

er en basis for underrummet $U.$

Prøv om du ikke kan svare på de restende opgaver samt hvad dimensionen af U er.

Brugbart svar (3)

Svar #3
02. januar 2019 af swpply (Slettet)

Opgave b)
Matricen

$B = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

representere afbildningen $f:U\rightarrow\mathbb{F}^2$ med hensyn til standardbasen (e₁, e₂, e₃) for $U$ og standardbasen (e₁, e₂) for $\mathbb{F}^2$ . Matricen

$C = \begin{pmatrix} -1 & -1\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

representere afbildningen $g:U\rightarrow U$ fra basen (b₁, b₂) til standardbasen (e₁, e₂, e₃). Vi har derfor at

$\begin{align*} A &= BC \\ &= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}-1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

representere afbildningen $f:U\rightarrow\mathbb{F}^2$ med hensyn til basen (b₁, b₂) for $U$ og standardbasen (e₁, e₂) for $\mathbb{F}^2$ .

Brugbart svar (1)

Svar #4
02. januar 2019 af swpply (Slettet)

Opgave c)
Brug at en afbildning er en isomorfi hvis, og kun hvis, matricen der representere denne afbildning ikke er singular. Brug nu at

$\det A = -1\cdot 1 - 1\cdot(-1) = 0,$

hvorfor at $A$ er sinuglar og dermed har du at $f$ ikke er en isomorfi.

Brugbart svar (1)

Svar #5
02. januar 2019 af swpply (Slettet)

Opgave d)
kernen af $f$ bestemmes ved at løse

$f\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix}-s-t \\ s+t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \quad\Leftrightarrow\quad s + t = 0$

Hvorfor at

$\begin{align*} \ker f &= \{(s,t)\in U \mid s+t=0\} \\ &=\text{span}\bigg\{\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\bigg\} \end{align*}$

altså er

$\bigg\{\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}\bigg\}$

en basis for $\ker f$ .

Svar #6
04. januar 2019 af Herstall

Hey swpply

Tusind tak for hjælpen. Jeg har lige nogle spørgsmål

I opgave a) hvordan kommer du så frem til parameterfremstillingen altså basen som står i parameterfremtstillingen. Med andre ord, hvordan kommer du fra den lineære abildning (x_1) (x_2+x_3) til $\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

jeg kan ikke lige se det for mig.

Jeg har ikke haft problemer med de andre opgaver, de giver ret god mening.

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. januar 2019 af swpply (Slettet)

Parameterfremstillingen og opgave a) har generelt intet at gøre med den lineære afbildning $f:U\rightarrow\mathbb{F}^2.$ Parameterfremstillingen fremkommer ved

$x_1+x_2+x_3 = 0$

som jeg også eksplicit skriver i #2.

Svar #8
05. januar 2019 af Herstall

ja okay men hvordan kommer du frem til $\begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
06. januar 2019 af swpply (Slettet)

Du har at

$\begin{align*} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\in U \quad&\Leftrightarrow\quad x_1+x_2+x_3 = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x_1 = -x_2-x_3.\end{align*}$

Vi indføre nu de to parametere $s,t\in\mathbb{F}$ ved at $x_2 = s$ og $x_3 = t$ , vi har således at

$\begin{align*} \left. \begin{aligned} x_1 &= -s - t \\ x_2 &= s + 0t\\ x_3 &= 0s +t \end{aligned} \right\rbrace \quad\Leftrightarrow\quad \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$

Altså har du at $\begin{align*} \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix}^T \end{align*}$ kan skrives som en linearkombination af af de to lineære uafhængige (hvorfor? vis evt. dette) vektorere

$\begin{align*} \{\mathbf{b}_1,\mathbf{b_2}\} = \Bigg\{\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\Bigg\} \end{align*}$

Med andre ord har du at $\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b_2}\}$ er en basis for $U.$

Skriv et svar til: Lineær Algebra - Opgave om basis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.