Matematik

invarianter

02. januar 2019 af Warrio - Niveau: Universitet/Videregående

Halløj

Jeg havde et problem med en opgave som jeg havde stilt spørgsmål om før. Jeg havde ikke muligheden for at tjekke svarende som var blevet givet, og som jeg er rigtig taknemmelig overfor. Der er desværre nogler beregninger som jeg ikke lige kan se hvordan det er blevet gjort. Opgaven er vedhæftet som et link til den gang hvor jeg oprindeligt har stilt spørgsmålet, samt hvor besvarelserne er :)

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1871428

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. januar 2019 af swpply (Slettet)

$\begin{align*} s_n &= 6 + 12 + 36 +\ldots +4\cdot3^{n-1}\\ &= \underbrace{2+4}_{6} + 12 + 36 +\ldots+4\cdot3^{n-1} \\ &= 2 + 4\cdot\big(1+3+9+\ldots+3^{n-1}\big) \\ &= 2 + 4\cdot\sum_{i=0}^{n-1}3^i \\ &= 2+4\cdot\bigg(\frac{1-3^n}{1-3}\bigg) \\ &= 2 + 4\cdot\bigg(\frac{1-3^n}{(-2)}\bigg) \\ &= 2 - 2\cdot\big(1-3^n\big) \\ &= 2 - 2 + 2\cdot3^2 \\ &= 2\cdot3^n \end{align*}$

skriv hvis du har spørgsmål til ovenstående ;o)

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. januar 2019 af swpply (Slettet)

NB.

Du har generalt at

$\begin{align*} \sigma &= \sum_{i=0}^{n-1}r^{i} \\ &=1 + r + r^2 + \ldots + r^{n-1} \end{align*}$

hvorfor at

$\begin{align*} r\sigma &= \sum_{i=1}^{n}r^{i} \\ &=r + r^2 + r^3 + \ldots + r^{n} \end{align*}$

og dermed at

$\begin{align*} \sigma - r\sigma &= 1 + r + r^2 + \ldots + r^{n-1} - (r + r^2 + r^3 + \ldots + r^{n}) \\ &= 1 + \cancel{r-r} +\cancel{r^2-r^2} +\ldots + \cancel{r^{i}-r^{i}} +\ldots+ \cancel{r^{n-1}-r^{n-1}} - r^n \\ &= 1-r^n \\ &\Updownarrow\\ (1-r)\sigma&=1-r^n \\ &\Updownarrow\\ \sigma &= \frac{1-r^n}{1-r} \end{align*}$

for et hvilkårligt reelt tal r. I dit tilfælde har du at r = 3.

Svar #3
02. januar 2019 af Warrio

Mange tak for hjælpen :) sidste spørgsmål til de sidste tre lighedstegn.

hvordan fik du det til at sige $2 * 3^{2}$ , og derefter bliver det bare til $2 * 3^{n}$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. januar 2019 af swpply (Slettet)

Ja, det er også en taste fejl. De sidste tre lighedstegn bør istedet hede

$\begin{align*} &\vdots \\ &=2-2\cdot\big(1-3^n\big) \\ &= 2- 2 + 2\cdot3^n \\ &= 2\cdot3^n \end{align*}$

Svar #5
02. januar 2019 af Warrio

Okay, men bare lige for at være sikker..... hvorfor ganger du 2 men ikke -2 in i parantesen?

Svar #6
02. januar 2019 af Warrio

Nej vendt.... er der noget jeg har overset måske.... det står heldt anderledes.

$1 - 3^{n}$ bliver til $2* 3^{n}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
02. januar 2019 af swpply (Slettet)

#6 Nej, du bliver nød tid at øve dig i din algebra. Du har at

$\begin{align*} 2\cdot(1-3^n) &= 2\cdot1-2\cdot3^n \\ &= 2 - 2\cdot3^n \end{align*}$

du ganger altså blot ind i parentesen med 2. Hvorfor at

$\begin{align*} 2 - 2\cdot(1-3^n) &= 2-\big(2 - 2\cdot3^n\big) \\ &= \underbrace{2 - 2}_{=0} + 2\cdot3^n \\ &= 2\cdot 3^n \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
02. januar 2019 af swpply (Slettet)

#5
Okay, men bare lige for at være sikker..... hvorfor ganger du 2 men ikke -2 in i parantesen?

Jeg ganger også -2 ind i parentesen:

$\begin{align*} -2\cdot(1-3^n) &= (-2)\cdot1-(-2)\cdot3^n \\ &= -2 + 2\cdot3^n \end{align*}$

husk at minus gange minus er lig plus (÷ × ÷ = +)

Svar #9
02. januar 2019 af Warrio

#7
#6 Nej, du bliver nød tid at øve dig i din algebra. Du har at

$\begin{align*} 2\cdot(1-3^n) &= 2\cdot1-2\cdot3^n \\ &= 2 - 2\cdot3^n \end{align*}$

du ganger altså blot ind i parentesen med 2. Hvorfor at

$\begin{align*} 2 - 2\cdot(1-3^n) &= 2-\big(2 - 2\cdot3^n\big) \\ &= \underbrace{2 - 2}_{=0} + 2\cdot3^n \\ &= 2\cdot 3^n \end{align*}$

...... nu synes jeg også selv at jeg har spurgt et rigtig dumt spørgsmål..... jeg har nemlig arbejdet med en opgave før den som bruger en anden metode, når der ganges ind i parantesen, hvor man kun skal gange med den første led, og den brugte jeg nemlig... derfor var jeg lidt lost.

Mange tak for hjælpen

Brugbart svar (0)

Svar #10
02. januar 2019 af swpply (Slettet)

Du ganger ikke noget led ind i nogen parentes. Du ganger faktoren -2 ind i parentesen ved at gange hvert led i parentesen med faktoren -2.

Hvis du generalt har

$A + B\cdot(C+D)$ ,

så har du at A, C og D er led hvorimod at B er en faktor. Hvorfor at du iflg. din algebra fra folkeskolen generalt har at

$A + B\cdot(C+D) = A + BC +BD$

ved at gange faktoren B ind på hvert led i parentesen. Der er altså ikke tale om nogen metode, men blot elementær algebra.

I dit tilfælde er A = 2, B = -2, C = 1 og D = 3ⁿ

Brugbart svar (0)

Svar #11
02. januar 2019 af swpply (Slettet)

Retelse: I dit tilfælde er A = 2, B = -2, C = 1 og D = -3ⁿ.

Skriv et svar til: invarianter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.