Matematik

Bevisførelse af primtal ulighed (induktion)

03. januar 2019 af Slashdash - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP. Jeg mangler hjælp til noget bevisførelse. Jeg er ret sikker på, at beviset kan udføres med induktion, men da jeg ikke har arbejdet med magen til problemer, så vil jeg gerne have hjælp til beviset. Spørgsmålet lyder:

Lad $p_i$ være talfølgen på hinanden følgende primtal (consecutive prime numbers) startende fra 2. Bevis at:

$\prod_{k=1}^{n}p_k < 4^{p_n}$

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. januar 2019 af swpply (Slettet)

Funktionen på din højre side benævnes generalt som the primorial function, altså

$p_n\# = \prod_{k=1}^np_k.$

Du er altså med andre ord interesseret i at bevise at

$(p_n\#)^\frac{1}{p_n} < 4.$

Jeg er bange for at det kræver lidt mere end blot induktion at vise ovenstående resultat.

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. januar 2019 af swpply (Slettet)

Det virker til at den letteste måde at vise påstanden på, er ved at generalisere the primorial function $p_n\#$ til de positive heltal, dvs. funktionen

$n\# = \prod_{k=1}^{\pi(n)}p_k$

hvor $\pi(n)$ er antallet af primtal mindre end $n$ . Da har du følgende theorem:

–– Denne sætning samt bevis er taget fra P. Erdos bevis for Bertrands postulat.

Vedhæftet fil:erdos.bertrand.postulate.png

Skriv et svar til: Bevisførelse af primtal ulighed (induktion)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.