Hjælp til Lineær Algebra

e) Egenværdierne over C er den fra b) samt to komplekst konjugerede tal, da det karakteristiske polynomium har reelle koefficienter. Dvs. alle egenværdier er forskellige, hvilket er medfører diagonaliserbarhed (den anden vej gælder ikke).

d) Antag for modstrid at P^-1AP = D, dvs. A = PDP^-1, hvor D er diagonal og består af egenværdierne inklusiv de 2 irreelle. Hvis P er reel, så må A have en komplekst indgang, da P har fuld rang. A kendes dog og er reel.

Jeg kan godt forstå e) nu, men jeg er ikke helt med på d) stadigvæk, kan du uddybe mere?

Da P har fuld rang så repræsenterer den en bijektiv afbilding fra R³ til R³ (det samme gælder P^-1).

Derfor kan vi kan vælge reel vektor v, så P^-1v er en standard enhedsvektor e_k,
hvor k vælges så det svarer til hvor der er en kompleks egenværdi i D's diagonal.

DP^-1v  er så lig en vektor bestående af 0'er samt den komplekse egenværdi, og da P er
bijektiv R³ til R³ (samt fra C³ til C³) så er  PDP^-1v  ikke element i R³ dvs. det er en kompleks vektor.

Jf. #1 har vi desuden  Av = PDP^-1v

Matrix A gange reel vektor giver dermed en kompleks vektor.
A kan derfor ikke være reel i alle indgange.