Matematik

planintegraler

10. januar 2019 af Warrio - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

I opgaven, der er vedhæftet som et billede, kan det passe, at uligheden af koordinaterne er

$0\leq x\leq 1$ og $-1\leq y\leq 0$

og, hvis det er, kan jeg få hjælp til at starte med at løse integralet. Tænker at, hvis man starter med x, kan det passse at det bliver til

$\int ln(x^2y^2)*\frac{1}{2}x^2dy$ ?

På forhånd tak.

Vedhæftet fil: Screen Shot 2019-01-10 at 14.09.23.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. januar 2019 af oppenede

De uligheder du skriver giver et enhedskvadrat i 4. kvadrant.
Ulighederne i opgaven giver den del af enhedscirklen som ligger i 2. og 3. kvadrant.

Sidstnævnte kan parametriseres over et rektangel ved
(x,y) = (-r sin(s), r cos(s))
hvor r går fra 0 til 1, og s går fra 0 til π.

Jacobimatricen for parametriceringen er
$J=\left( \begin{array}{cc} -\sin (s) & -r \cos (s) \\ \cos (s) & -r \sin (s) \\ \end{array} \right)$

og integralet kan bestemmes som
$\\\int_0^1\int_0^\pi\frac{x(r,s)}{x(r,s)^2+y(r,s)^2}\sqrt{\det(J^TJ)} dsdr= \\\int_0^1\int_0^\pi\frac{-r \sin(s)}{(-r \sin(s))^2+(r \cos(s))^2}rdsdr= \\\int_0^1\int_0^\pi\frac{-r \sin(s)}{r^2}rdsdr= \\\int_0^1\int_0^\pi -\sin(s) dsdr=-2$

Skriv et svar til: planintegraler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.