Matematik

Hvor krumningen er maksimal

13. januar 2019 af Warrio - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Hvordan ses det i opgave d). Eller hvordan gør. Den er vedhæftet som et billede.

På forhånd tak!

Vedhæftet fil: Screen Shot 2019-01-13 at 14.23.03.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. januar 2019 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. januar 2019 af oppenede

Differentation mht. t giver retningsvektoren:
$(1-4 t,2 t+2)$

Krumningen er størst dér hvor retningsvektoren roterer hurtigst.

Retningsvektorens vinkel ift. den positive første akse er:
$\arctan(\text{mod}/\text{hos})=\arctan\left(\frac{2 t+2}{1-4 t}\right)$
Som differentieres mht. t for at se hvor hurtigt vinklen ændrer sig:
$\frac{\frac{2(1-4 t)-(-4)(2 t+2)}{(1-4 t)^2}}{1+\left(\frac{2 t+2}{1-4 t}\right)^2}$

gang med tællerens nævner i alle led:
$\frac{2(1-4 t)-(-4)(2 t+2)}{(1-4 t)^2+(2 t+2)^2}=\frac{2-8t+8t+8}{1+16t^2-8t+4t^2+4+8t}=\frac{10}{5+20t^2}$

som er aftagende når t² vokser, dvs. t=0 er krumningens maksimum, da t² er minimal i t=0.

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. januar 2019 af mathon

$\small \mathbf{r(t)}=\begin{pmatrix} t-2t^2\\ 2t+t^2 \end{pmatrix}$

$\small \mathbf{r{\, }'(t)}=\begin{pmatrix} 1-4t\\ 2+2t \end{pmatrix}$

$\small \mathbf{r{\, }''(t)}=\begin{pmatrix} -4\\ 2 \end{pmatrix}$

Krumningen
$\small \small \kappa =\frac{\left | \mathbf{r{\, }'(t)} \times \mathbf{r{\, }''(t)}\right | }{\left |\mathbf{r{\, }'(t)} \right |^3}=\frac{2}{\sqrt{5}\left ( 4t^2+1 \right )^{\frac{3}{2}}}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. januar 2019 af mathon

Krumningen er størst, hvor nævneren er mindst dvs for t = 0.

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. januar 2019 af mathon

detaljer:
   minimum for
      $\small 4t^2+1$
   kræver bl.a.:
$\small (4t^2+1){\, }'=0$

$\small 8t=0$

$\small t=0$

Skriv et svar til: Hvor krumningen er maksimal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.