Matematik

Differentialligning

29. januar 2019 af statuen - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle,

Jeg sidder med en differentialligning, som jeg ikke kan få til at gå op:

dS/dt=B(t)-qS. Det oplyses, at q=2 og B(t)=6e^-3t. Bestem den fuldstændige løsning S=S(t) til diff.ligningen. Jeg løser den til: S=S(t) = -3e^-3t + ce^-2t. Facit siger dog -6e^-3t + ce^-2t. Hvordan kan det være? Skal den ikke løses som eksponentialvækst med konstantled?

Mvh. Anika

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. januar 2019 af mathon

Brug panserformlen:

$\small \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}+q\cdot S(t)=B(t)$

$\small S(t)=e^{-qt}\cdot \int e^{qt}\cdot B(t) \, \mathrm{d}t$

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. januar 2019 af mathon

i anvendelse

$\small S(t)=e^{-2t}\cdot \int e^{2t}\cdot 6e^{-3t} \, \mathrm{d}t$

$\small S(t)=6e^{-2t}\cdot \int e^{-t} \, \mathrm{d}t$

$\small \small S(t)=6e^{-2t}\cdot\left ( - e^{-t}+C_1 \right )$

$\small S(t)=Ce^{-2t}-6e^{-3t}$

Svar #3
29. januar 2019 af statuen

Tusinde tak, Mathon. Det var meget behjælpeligt. Er der en hovedregel for, hvornår jeg skal bruge panserformlen og hvornår jeg skal bruge løsningen for eksponential vækst med konstantled?

F.eks: Denne opgave har jeg løst som eksponentialled med konstantled: dS/dt=B(t)-qS, hvor q er 2 og B(t)=B. Jeg får B/2+ce^-2t, som jeg er sikker på er det rigtige.

Men på samme måde, som man rykker rundt i ovenstående eksempel med panserformlen, kunne jeg vel gøre det samme her: dS/dt+2S=B og løse den med panserformlen? Bruges panserformlen kun (eller i de fleste tilfælde), når e^x er indblandet?

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. januar 2019 af Sveppalyf

Svar #5
29. januar 2019 af statuen

Tak for skemaet.

Et nyt spørgsmål er opstået i mellemtiden. Regner pt. på en opgave, hvor jeg skal separere to variable. I facit kan jeg se at dy/dx=y^2*sinx bliver til y=1/cosx+c. Det fatter jeg hat af. Kan se, at mine forelæsere har lavet y^2 om til y`-2 for derefter at tage integralet, som så bliver til -y^-1 - det forstår jeg intet af.

Jeg får y=-(3*cos(x))^1/3. Jeg integrerer y anderledes, på den velkendte måde, så det bliver til 1/3*y^3. Er mit facit forkert og hvordan helvede bliver y^2 til y^-2? :)

Brugbart svar (0)

Svar #6
29. januar 2019 af mathon

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=y^2\cdot \sin(x)\mathrm{d}x$
separation
$\small \frac{1}{y^2}\, \mathrm{d}y=\sin(x)\mathrm{d}x$

integration

$\small \int \frac{-1}{y^2}\, \mathrm{d}y=\int -\sin(x)\mathrm{d}x$

$\small \frac{1}{y}=\cos(x)+C$

$\small y=\frac{1}{\cos(x)+C}$

Svar #7
29. januar 2019 af statuen

Hvordan går du fra y^2 til 1/y^2?

Svar #8
29. januar 2019 af statuen

Og hvordan kan e^3y blive til 1/3*e^3y og ikke 3e^3y? Jeg er lidt lost på de seperationer, ikke på selve fremgangsmåden - men jeg integrere ud fra de velkendte regler og det viser sig gang på gang at være forkert.

Brugbart svar (0)

Svar #9
29. januar 2019 af mathon

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=y^2\cdot \sin(x)\mathrm{d}x$ $\small \textup{multiplicer med }\tfrac{1}{y^2}\textup{ p\aa \ begge sider}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
29. januar 2019 af mathon

#8
$\small \int e^{3y}\mathrm{d}y=\tfrac{1}{3}e^{3y}+k$
da
$\small \small \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} y}\left (\tfrac{1}{3}e^{3y} +k \right )=\tfrac{1}{3}\cdot e^{3y}\cdot \left (3y \right ){}'+0=\tfrac{1}{3}\cdot e^{3y}\cdot3=e^{3y}$

Svar #11
29. januar 2019 af statuen

Ah ja. Nu er jeg med. Tak for hjælpen, Mathon.

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.