Matematik

Differentialligning

10. februar 2019 af WhatTheFu (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle.

Jeg sidder med disse opgaver, og har prøvet mig frem med eksempelvis desolve på nspire, men er helt på bar bund ift hvad der skal hvad, hvilke tal jeg skal bruge osv. Jeg har også forsøgt at kigge på nogle differentialligningstyper ift deres partikulære løsninger, men det hjalp ikke meget.

Opgaven er vedhæftet.

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #1
10. februar 2019 af mathon

Brugbart svar (1)

Svar #2
10. februar 2019 af mathon

Løsningen til
differentialligningen:
$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=a\cdot y\cdot (M-y)\qquad a>0\quad\textup{og}\quad0<y<M$
er
$\small f(x)=y=\frac{M}{1+Ce^{-aMx}}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
10. februar 2019 af mathon

i anvendelse:
$\small \small f(x)=\frac{10^4}{1+Ce^{-2\cdot 10^{-4}\cdot 10^4\cdot x}}$

$\small f(x)=\frac{10^4}{1+Ce^{-2 x}}$

$\small f(0)=\frac{10^4}{1+Ce^{-2\cdot 0}}=400$

$\small 1+C=25$

$\small C=24$

a)
$\small f(x)=\frac{10^4}{1+24e^{-2 x}}$

$\small \small \small f(2)=\frac{10^4}{1+24e^{-2\cdot 2}}=6946$

Brugbart svar (1)

Svar #4
10. februar 2019 af mathon

b)
Modeltilpasning af a:

$\small f(2)=\frac{10^4}{1+24e^{a\cdot\left ( 2\cdot 10^4 \right )\cdot 2}}=8600$

$\small \frac{1}{1+24e^{a\cdot\left ( 2\cdot 10^4 \right )\cdot 2}}=0.8600$

$\small 24e^{\left ( 4\cdot 10^4 \right )a}=0.162791$

$\small e^{\left ( 4\cdot 10^4 \right )a}=\frac{0.162791}{24}$

$\small 4\cdot 10^4 a=\ln\left (\frac{0.162791}{24} \right )$

$\small a=\frac{\ln\left (\frac{0.162791}{24} \right )}{4\cdot 10^4}$

$\small a=2.5\cdot 10^{-4}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
10. februar 2019 af mathon

Anvendes modellen

$\small f(x)=\frac{10^4}{1+24e^{-2.5 x}}\qquad\textup{er den i overensstemmelse med det sk\o nnede antal fisk efter to \aa r.}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
10. februar 2019 af mathon

korrektion:
$\small f(x)=\frac{10^4}{1+24e^{-2.5 x}}\quad\textup{er den i overensstemmelse med det sk\o nnede antal fisk efter to tidsenheder.}$

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.